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equazioni differenziali

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Ora questa serie è convergente (come ha provato Cauchy) in un certo intervallo comprendete il punto $x=a$, si può derivare per serie, e rappresenta precisamente quella soluzione $y$ della (1) tale che $y,y',.....,y^{(n-1)}$ per $x=a$ assumano i valori prescritti <$b_{0},b_{1},.....,b_{n-1}$.

Se la $varphi$ non fosse sviluppabile in serie di potenze, come abbiamo ammesso, si potrebbero ancora in casi generalissimi dimostrare i teoremi di esistenza e di unicità, p. es. col metodo delle successive approssimazioni, di cui abbiamo già trovato una importante applicazione nella teoria delle funzioni implicite.

Esercizi.

1° Integrare per serie l'equazione $y'=y$.

Ris. Si ha $y'=y,y''=y'=y,y'''=y''=y'=y$ ecc. in generale $y^{(n)}=y$. Posto che $y=k$ per $x=0$, si trova $y=k\left(1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{\lfloor {\underline {2}}}}+.....\right)=ke^{x}$, come già sapevamo.

2° Integrare per serie l'equazione $y''\pm y=0$.

§ 113. — Primi tipi di equazioni lineari alle derivate ordinarie a coefficienti costanti.

Oss. Il lettore, a cui non interessi il caso generale, potrà omettere lo studio dei seguenti tre paragrafi, sostituendo loro questo unico § 113. Paragrafo che invece potrò essere omesso da chi studii senz'altro il caso generale. È in ogni caso raccomandabile la lettura dell'esempio 4° al § 117.

1° Sia data l'equazione di primo ordine

$y'+py=0$

($p=$ cost.).

(1)

Le sue soluzioni sono date dalla

$y=Ce^{-px}$

($C=$ cost. arbitraria).

(2)

Si noti che nell'esponente $-px$ il coefficiente della $x$ è $-p$, e che $-p$ è la radice dell'equazione caratteristica

$c+p=0$

(3)

ottenuta da (1) ponendo al posto di $y'$ e di $y$ la $c^{1}=c$, e la $c^{0}=1$, essendo $c$ la incognita.

2° Sia data l'equazione

$y''+py'+qy=0$

($p,q=$ cost.).

(4)

Se $\alpha ,\beta$ sono le radici dell'equazione caratteristica

$c^{2}+pc+q=0$

(5)

ottenuta scrivendo $1,c,c^{2}$ al posto di $y,y',y''$ ($c$ essendo l'incognita), sarà

                                                  $\alpha +\beta =-p$     ,     $\alpha \beta =q$  ;

                                $\alpha =-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$     ,     $\beta =-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$  .