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equazioni differenziali

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§ 114. — Primi teoremi sulle equazioni differenziali lineari
(alle derivate ordinarie).

Si dicono equazioni lineari le equazioni del tipo

$y^{(n)}+p_1(x)y^{(n-1)}+p_2(x)y^{(n-2)}+\mathrm{.....}+$

$+p_n(x)y=f(x)$,

(1)

(perchè di primo grado nelle $y,y^{\prime },\mathrm{.....},y^{(n)}$), dove con $p_1,p_2,\mathrm{.....},p_n,f$ indichiamo funzioni arbitrarie delle $x$. Se $f(x)=0$, l'equazione di dice omogenea, perchè il tal caso manca il termine $f(x)$ di grado zero nella $y$ e derivate. Noi abbiamo al § 111, $\beta$, studiato la (1) nel caso $n=1$, cioè nel caso di un'equazione del primo ordine. Supponiamo che $y_1,y_2$ siano due integrali della (1) non omogenea. Sarà:

                    $y_1^{(n)}+p_1{y}_1^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_n{y}_1=f(x)$                    (2)

                    $y_2^{(n)}+p_1{y}_2^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_n{y}_2=f(x)$                     (3)

Sostituendo (3) da (2) si verifica tosto che $z=y_2-y_{y}1$ soddisfa all'equazione

               $z^{(n)}+p_1{z}^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_{n-1}{z}^{\prime }+p_{n}z=0$               (4)

omogenea, che si deduce da (1) ponendovi $f(x)=0$. Se dunque $y$ è una particolare soluzione di 81), ogni altra soluzione di (1) è del tipo $y+z$, dove $z$ è una soluzione di (4), anche $y+z$ soddisfa ad (1). Dunque per carcare tutte e sole le soluzioni della (1) non omogenea, basta conoscerne una sola soluzione: tutte le altre si ottengono sommando con essa tutte le soluzioni della (4) omogenea.

Lagrange ha dimostrato, come vedremo meglio in seguito, che, se si sa risolvere la (4) omogenea, è sempre possibile trovare una soluzione della (1) non omogenea: e quindi, per quanto precede, che si sa risolvere pure la (1) sapendo integrare la (4).

Vediamo quindi di studiare l'equazione omogenea:

                    $y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_{n}y=0$                    (5)

Se $z_1$ è una funzione che la risolve, è facile vedere che pure $k_1{z}_1$, dove $k_1$ è una costante affatto arbitraria, è una soluzione dell'equazione; e infatti:

$k_1{z_1}^{(n)}+p_1{k}_1{z_1}^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_n{k}_1{z}_1=$

$=k_1(z_1^{(n)}+p_1{z_1}^{(n-1)}+\mathrm{.....}+p_n{z}_1)=0$.

poichè il secondo fattore compreso tra parentesi è zero (essendo la $z_1$ una soluzione dell'equazione).