Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/399

Da Wikisource.

equazioni differenziali 383

della loro risolubilità in un modo e in uno solo, se il determinante del coefficiente delle incognite

è differente da zero. Tale determinante si chiama il Wronskiano delle . Possiamo dunque determinare le soddisfacenti ad (1), (2) se il Wronskiano delle è differente da zero.

Le così determinate, se è arbitraria, non saranno generalmente costanti, ma soddisferanno ad alcune equazioni, le quali dicono che la definita da 81) soddisfa a (2).

Derivando (1) e confrontando con la prima delle (2) si trova che

.

Sarà pertanto

(3)               .

Nello stesso modo, confrontando la derivata di ciascuna delle equazioni (2) (l'ultima esclusa) con la seguente equazione (2), si trova

Viceversa, se le soddisfano alle (3) e (3)bis la definita da (1) soddisfa alle (2). Derivando l'ultima dalla (2) si ha:

.

Indicando con funzioni arbitrarie della , da questa equazione, dalle (1) e (2) si deduce immediatamente che:

.