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equazioni differenziali

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della loro risolubilità in un modo e in uno solo, se il determinante del coefficiente delle incognite $k$

$W = | \begin{matrix} z_{1} & z_{2} & ..... z_{n} \\ z'_{1} & z'_{2} & ..... z'_{n} \\ z^{'}'_{1} & z^{'}'_{2} & ..... z^{'}'_{n} \\ \dots & \dots & \dots \\ z_{1}^{(n - 1)} & z_{2}^{(n - 1)} & ..... z_{n}^{(n - 1)} \end{matrix} |$

è differente da zero. Tale determinante si chiama il Wronskiano delle $z$ . Possiamo dunque determinare le $k$ soddisfacenti ad (1), (2) se il Wronskiano delle $z$ è differente da zero.

Le $k$ così determinate, se $y$ è arbitraria, non saranno generalmente costanti, ma soddisferanno ad alcune equazioni, le quali dicono che la $y$ definita da 81) soddisfa a (2).

Derivando (1) e confrontando con la prima delle (2) si trova che

$y^{'} = (k_{1} z'_{1} + k_{2} z'_{2} + ..... + k_{n} z'_{n}) + (k'_{1} z_{1} + k'_{2} z_{2} +$

$+ ..... + k'_{n} z_{n}) = k_{1} z'_{1} + k_{2} z'_{2} + ..... + k_{n} z'_{n}$ .

Sarà pertanto

(3) $k'_{1} <_{1} + k'_{2} z_{2} + ..... + k'_{n} z_{n} = 0$ .

Nello stesso modo, confrontando la derivata di ciascuna delle equazioni (2) (l'ultima esclusa) con la seguente equazione (2), si trova

$(3)^{b i s} {\begin{matrix} k'_{1} z'_{1} & + k'_{2} z'_{2} & + ..... + k'_{n} z'_{n} & = 0 \\ k'_{1} z^{'}'_{1} & + k'_{2} z^{'}'_{2} & + ..... + k'_{n} z^{'}'_{n} & = 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ k'_{1} z_{1}^{(n - 1)} & + k'_{2} {z_{2}}^{(n - 1)} & + ..... + k'_{n} z_{n}^{(n - 1)} & = 0 \end{matrix}$

Viceversa, se le $k^{'}$ soddisfano alle (3) e (3)_bis la $y$ definita da (1) soddisfa alle (2). Derivando l'ultima dalla (2) si ha:

$y^{(n)} = k_{1} z_{1}^{(n)} + k_{2} z_{2}^{(n)} + ..... + k_{n} z_{n}^{(n)} +$

$+ k'_{1} z_{1}^{(n - 1)} + k'_{2} z_{2}^{(n - 1)} ..... + k'_{n} z_{n}^{(n - 1)}$ .

Indicando con $p_{1}, p_{2}, ....., p_{n}$ funzioni arbitrarie della $x$ , da questa equazione, dalle (1) e (2) si deduce immediatamente che:

$\begin{matrix} y^{(n)} + p_{1} y^{(n - 1)} & + p_{2} y^{(n - 2)} & + ..... + p_{n - 1} y^{'} + p_{n} y = \\ = k_{1} [z_{1}^{(n)} & + p_{1} z_{1}^{(n - 1)} & + ..... + p_{n - 1} z_{1} + p_{n} z_{1}] + \\ + k^{2} [z_{2}^{(n)} & + p_{1} z_{2}^{(n - 1)} & + ..... + p_{n - 1} z_{2} + p_{n} z_{2}] + \\ \dots & \dots & \dots \\ + k_{n} [z_{n}^{(n)} & + p_{1} z_{n}^{(n - 1)} & + ..... + p_{n - 1} z_{n} + p_{n} z_{n}] + \\ + k'_{1} z_{1}^{(n - 1)} & + k'_{2} z_{2}^{(n - 1)} & + ..... + k'_{n} z_{n}^{(n - 1)} . \end{matrix}} (4)$ .