Sia
un cilindro avente per base una figura piana
e per altezza un segmento di misura
1. Chiameremo
volume di
un numero
maggiore dei volumi dei prismi di uguale altezza
aventi per base un poligono
(prismi che sono contenuti in
)
È poi evidente che l’area così definita gode delle proprietà enunciate sopra a pagina 212.
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È poi evidente che il volume così definito gode delle proprietà enunciate sopra a pagina 212.
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Queste proprietà sono del resto insite nel fatto, che le precedenti considerazioni trattano il problema della misura di una classe particolare di grandezze.
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Queste proprietà sono del resto insite nel fatto, che le precedenti considerazioni trattano il problema della misura di una classe particolare di grandezze.
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Se invece fosse , il numero si potrebbe chiamare l’area esterna, il numero l’area interna della figura considerata. Questi due numeri godono, come è evidente, di alcune, ma non di tutte le proprietà dell’area nel senso elementare (sopra definito) della parola. Noi lo proveremo nel modo esposto in fine al paragrafo.
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Se invece fosse , il numero si potrebbe chiamare il volume esterno, il numero il volume interno della figura considerata. Questi due numeri godono, come è evidente, di alcune, ma non di tutte le proprietà del volume nel senso elementare (sopra definito) della parola.
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Sia un cilindro avente per base una figura piana e per altezza un segmento di misura 3. Chiameremo volume di un numero maggiore dei volumi dei prismi di uguale altezza aventi per base un poligono (prismi che sono contenuti in )
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- ↑ È noto che, se è il piano della figura , allora è il luogo dei punti posti da una stessa banda di , i quali distino da non più di , e che abbiano per proiezione su un punto di .
- ↑ 2,0 2,1 Infatti sia , per esempio, una figura piana somma di due figure , senza punti interni comuni. Tra i poligoni interni ad vi sono quelli (ad uno o più pezzi), che sono somma di un poligono relativo ad e di un poligono relativo ad . Quindi il limite superiore delle aree dei poligoni vale almeno la somma dei limiti superiori , delle aree dei poligoni , , cioè . Sia un poligono che contiene all’interno, e un poligono analogo per ; sia la parte comune. Il poligono contiene all’interno, ed è perciò un poligono relativo ad . La sua area non supera la somma delle aree dei poligoni , . Perciò, sommando insieme l’area di un poligono con l’area di un poligono , si trova un numero, che non è inferiore all’area di qualche poligono relativo alla figura . Quindi il limite inferiore delle aree dei poligoni non può superare la somma dei limiti analoghi per , . Perciò . Poichè , per ipotesi, sarà , come volevasi provare.
- ↑ È noto che, se è il piano della figura , allora è il luogo dei punti posti da una stessa banda di , i quali distino da non più di , e che abbiano per proiezione su un punto di .