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equazioni differenziali

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E perciò, se dimostriamo che il loro Wronskiano, cioè il determinante formato con queste soluzioni e le loro derivate sino a quelle di ordine $n-1$, è diverso sa zero, potremo affermare, giusta la teoria sviluppata di sopra, che lìintegrale generale della (1) è:

$y=k_{1}e^{c_{1}x}+.....+k_{n}e^{c_{n}x}$ ($k_{i}=$ cost.).

Ora il determinante di cui si parla è effettivamente diverso da zero, perchè esso è:

${\begin{vmatrix}c^{c_{1}x}&e^{c_{2}x}&\cdots &e^{c_{n}x}\\c_{1}e^{c_{1}x}&c_{2}e^{c_{2}x}&\cdots &c_{n}e^{c_{n}x}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1}^{n-1}e^{c_{1}x}&c_{2}^{n-1}e^{c_{2}x}&\cdots &c_{n}^{n-1}e^{c_{n}x}\end{vmatrix}}$

che (raccogliendo a fattor comune le $e^{c_{1}x},.....,e^{c_{n}x}$ che compaiono nelle singole colonne) si dimostra uguale a:

$e^{c_{1}x}e^{c_{2}x}\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot e^{c_{n}x}{\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\c_{1}&c_{2}&\cdots &c_{n}\\c_{1}^{2}&c_{2}^{3}&\cdots &c_{n}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{1}^{n-1}&c_{2}^{n-1}&\cdots &c_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

di cui il primo fattore è un esponenziale, e il secondo fattore, che è il così detto determinante di Vandermonde o di Cauchy, è uguale (§ 23, pag. 76) al prodotto delle differenze delle $c$ combinare a due a due fra loro in tutti i modi possibili; quindi esso non può essere zero, a meno che due delle $c$ non siano fra loro uguali, ciò che noi abbiamo escluso supponendo le radici della 82) tutte distinte.

Esercizio.

Sia per esempio l'equazione:

$y''-3y'+2y=0$.

Le radici dell'equazione caratteristica

$c^{2}-3c+2=0$

sono i numeri $1,\,2$.