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capitolo xviii — § 117

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Per questa via abbiamo trovato tutti gli integrali, anche complessi, di (1). Vogliamo trovare quelli di essi che sono reali, supposto naturalmente che le $p_{i}$ sieno costanti reali- In tal caso, se (2) ha una radice complessa semplice $a+i\,b$, essa ha anche la radice complessa coniugata $a-i\,b$; cosicchè insieme all'integrale $e^{(a+ib)x}$ vi sarà anche l'integrale $e^{(a-ib)x}$. Si debbono ora scegliere le costanti $k_{1}=l_{1}+i\,m_{1},k_{2}=l_{2}+i\,m_{2}$ ($l,m=$ cost. reali) in guisa che $k_{1}e^{(a+ib)x}+k_{2}e^{(a-ib)x}$ sia reale, ossia non muti mutando $i$ in $-i$. Si debbono in altre parole scegliere le costanti $l,m$ in guisa che

$(l_{1}+im_{1})e^{(a+ib)x}+(l_{2}+im_{2})e^{(a-ib)x}=$

$=(l_{1}+im_{1})e^{(a-ib)x}+(l_{2}-im_{2})e^{(a+ib)x}$.

Ciò avviene allora e allora soltanto che $k_{1}$ e $k_{2}$ sono immaginarie coniugate, ossia che $l_{1}=l_{2},m_{1}=-m_{2}$; nel qual caso

$k_{1}e^{(a+ib)x}+k_{2}e^{(a-ib)x}=2e^{ax}(l_{1}\,{\text{cos}}\,bx-m_{1}\,{\text{sen}}\,bx)$.

Posto $2l_{1}=h_{1},-2m_{1}=h_{2}$, questo integrale diventa

$h_{1}e^{ax}{\text{cos}}\,bx+h_{2}e^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$ ($h_{1},h_{2}$, costanti reali arbitrarie).

In modo analogo si vede che, se $a+ib$ fosse radice doppia di (2) e quindi altrettanto avvenisse di $a-i\,b$, si trovano anche gli integralii

$h_{3}xe^{ax}\,{\text{cos}}\,bx+h_{4}xe^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$ ($h_{3},h_{4}$ costati reali arbitrarie)

e così via. In modo simile si trattano le altre coppie di radici complesse coniugate; e si vede facilmente che così si ottengono tutti gli integrali reali di (1). In conclusione l'integrale reale generale di (1) è una combinazione lineare a coefficienti costanti reali arbitrari di integrali particolari del tipo

$x^{r}e^{cx},x^{r}e^{ax}\,{\text{cos}}\,bx,x^{r}e^{ax}\,{\text{sen}}\,bx$.

Esempi.

1°) L'equazione $y''+2y'+3y=0$ ha $-1\pm i{\sqrt {2}}$ per radici dell'equazione caratteristica $c^{2}+2c+3=0$. Il suo integrale reale generale è quindi $e^{-x}$ ($h_{1}{\text{cos}}{\sqrt {2}}x+h_{2}\,{\text{sen}}{\sqrt {2}}x$), dove $h_{1},h_{2}$ sono costanti reali arbitarie.

2°) L'equazione $y''-2y'+y=x$ ha le radici dell'equazione $c^{2}-2c+1=0$ caratteristica della corrispondente equazione omogenea

$y''-2y'+y=0$