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capitolo xviii — § 117

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Il primo membro di questa equazione è il Wronskiano delle $y,y_{1},y_{2},.....,y_{n}$. Dunque:

Se il Wronskiano delle $\mathrm {y,y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$ è sempre nullo, ma il Wronskiano delle $\mathrm {y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$ è differente da zero, la $\mathrm {y}$ è una combinazione lineare $\mathrm {k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}+.....+k_{n}y_{n}}$ a coefficienti $\mathrm {k}$ costanti delle $\mathrm {y_{1},y_{2},.....,y_{n}}$

2° Integrare l'equazione

$y^{(n)}+p_{3}t^{(n-1)}+p_{2}y^{(n-2)}+...+p_{n}y=a_{0}x^{m}+a_{1}x^{m-1}+...+a_{m}$

($p_{1}=$ cost; $a_{i}=$ cost.; $n,m$ interi positivi).

Ris. Anzichè col metodo generale, si può ottenere più brevemente un integrale particolare ponendo:

$y=b_{0}+b_{1}x+.....+b_{m}x^{m}$ ($b_{1}=$ cost.).

Sostituendo nella nostra equazione, e uguagliando nei due membri i coefficienti di $x^{m},x^{m-1}$, ecc., si trova:

$p_{n}b_{m}=a_{0}$; $p_{n}b_{m-1}+mb_{m}p_{n-1}=a_{1}$;

$p_{n}b_{m-2}+(m-1)p_{n-1}b_{m-1}+m(m-1)p_{n-3}b_{m}=a_{2}$;

$.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,$

$p_{n}b_{0}+p_{n-1}b_{1}+2p_{n-2}b_{2}+...+p_{1}\lfloor {\underline {n-1}}b_{n-1}+\lfloor {\underline {n}}b_{n}=a_{m}$,

dove sono supposte nulle le $b_{i}$, il cui indice $i$ supera $m$. Queste equazioni permettono di determinare successivamente le $b_{m},b_{m-1},.....,b_{0}$.

Fa eccezione il solo caso $p_{n}=0$; ma noi possiamo sempre supporre $p_{n}\not =0$, purchè si assuma una conveniente derivata della $y$ come funzione incognita, ecc., ecc.

3° Integrare l'equazione

$y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+.....+p_{n}y=ke^{hx}$ ($p_{i},h,k=$ cost.9 ($k\not =0$)

dove $h$ non è raice dell'equazione caratteristica {{centrato|$h^{n}+p_{1}h^{n-1}+.....+p_{n}=0$. Ris. Anzichè col metodo generale, si può ottenere più brevemente un integrale particolare ponendo

$y=l\,e^{hx}$ ($l=$ cost.).

Sostituendo nella nostra equazione si trova

$l\left\{h^{n}+p_{1}h^{n-1}+.....+p_{n}\right\}=k$,

che determina la $l$, se $h$ non è radice dell'equazione caratteristica relativa al primo membro della nostra equazione differenziale.