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equazioni differenziali 393

Si discuta l'equazione

( cost.).

Ris. L'equazione caratteristica è , e ha per radici . Se queste radici coincidono e l'integrale generale della nostra equazione è

( cost.).

Escluso questo caso limite di scarso interesse, trattiamo gli altri.

Se , l'equazione ha due radici reali che potremo indicare con ; l'integrale generale è ( cost.) il quale, se sono negativi, tende a zero per .

Se invece , si ponga ; le radici dell'equazione caratteristica saranno ; e hli integrali della nostra equazione saranno

( cost.).

Essi si ridurranno a sole funzioni trigonometriche se , e quindi 1.

Questi risultati sono stati trovati per via diretta al § 113.

Questo studio ha numerosissime applicazioni fisiche.

In molti problemi (scarica elettrica di un condensatore, vibrazione di un pendolo, ecc.) si preesnta una quantità (intensità di corrente, angolo di un pendolo con la posizione di equilibrio) variabile col tempo , che la fisica dimostra soddisfare a un'equazione del tipo precedente, dove le costanti sono positive. Allora, se , le sono negative, e quindi ci definisce una che per tende a zero. Si tratta in tal caso di un semplice fenomeno

  1. Si può porre , e, invece di dire che sono costanti arbitrarie, dire che sono costanti arbitrarie; la soluzione della nostra equazione diventa , dove è la cosidetta fase.