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equazioni differenziali

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4° Si discuta l'equazione

$y''+py'+qy=o$ ( $p,q=$ cost.).

Ris. L'equazione caratteristica è $c^{2}+pc+q=0$ , e ha per radici ${\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$ . Se ${\frac {p^{2}}{4}}-q=0$ queste radici coincidono e l'integrale generale della nostra equazione è

$\lambda e^{-{\frac {p}{2}}x}+\mu xe^{-{\frac {p}{2}}x}$ ( $\lambda ,\mu =$ cost.).

Escluso questo caso limite di scarso interesse, trattiamo gli altri.

Se ${\frac {p^{2}}{4}}-q>0$ , l'equazione ha due radici reali che potremo indicare con $\alpha ,\beta$ ; l'integrale generale è $\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$ ( $\lambda ,\mu =$ cost.) il quale, se $\alpha ,\beta$ sono negativi, tende a zero per $x=+\infty$ .

Se invece ${\frac {p^{2}}{4}}-q<0$ , si ponga $q-{\frac {p^{2}}{4}}=k^{2}$ ; le radici dell'equazione caratteristica saranno $-{\frac {p}{2}}\pm ik$ ; e hli integrali della nostra equazione saranno

$e^{-{\frac {p}{2}}x}|\lambda \,{\text{cos}}\,kx+\mu \,{\text{sen}}\,kx|$ ( $\lambda ,\mu =$ cost.).

Essi si ridurranno a sole funzioni trigonometriche se $p=0$ , e quindi $q=k?2$ ^[1].

Questi risultati sono stati trovati per via diretta al § 113.

Questo studio ha numerosissime applicazioni fisiche.

In molti problemi (scarica elettrica di un condensatore, vibrazione di un pendolo, ecc.) si preesnta una quantità $y$ (intensità di corrente, angolo di un pendolo con la posizione di equilibrio) variabile col tempo $x$ , che la fisica dimostra soddisfare a un'equazione del tipo precedente, dove le costanti $p,q$ sono positive. Allora, se ${\frac {p^{2}}{4}}-q>0$ , le $\alpha ,\beta$ sono negative, e quindi $y=\lambda e^{\alpha x}+\mu e^{\beta x}$ ci definisce una $y$ che per $x=\infty$ tende a zero. Si tratta in tal caso di un semplice fenomeno

↑ Si può porre $\lambda =a\,{\text{cos}}\,\varphi ,\mu =a\,{\text{sen}}\,\varphi$ , e, invece di dire che $\lambda ,\mu$ sono costanti arbitrarie, dire che $a,\varphi$ sono costanti arbitrarie; la soluzione della nostra equazione diventa $a\,e^{-{\frac {p}{2}}x}{\text{cos}}\,(hx+\varphi )$ , dove $\varphi$ è la cosidetta fase.

[1] Si può porre $\lambda =a\,{\text{cos}}\,\varphi ,\mu =a\,{\text{sen}}\,\varphi$ , e, invece di dire che $\lambda ,\mu$ sono costanti arbitrarie, dire che $a,\varphi$ sono costanti arbitrarie; la soluzione della nostra equazione diventa $a\,e^{-{\frac {p}{2}}x}{\text{cos}}\,(hx+\varphi )$ , dove $\varphi$ è la cosidetta fase.

[1]