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applicazioni geometriche

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e minore dei volumi dei prismi di uguale altezza $h$ e aventi per base un poligono $P$ (prismi contenenti $C$). I volumi di tali prismi sono dati dal prodotto di $h$ rispettivamente per l’area della base $p$ e $P$. Quindi, con le notazioni precedenti, il volume di $C$ sarà non minore di $\lambda h$ e non maggiore di $\Lambda h$. Se la base $F$ ha un’area, se cioè $\lambda =\Lambda$, il volume di $C$ sarà $\lambda h=\Lambda h$, cioè sarà dato dal prodotto dell'area della base per la misura dell’altezza. Noi considereremo nel seguito soltanto cilindri la cui base ha un’area. Diremo pluricilindro un solido, che si possa decomporre in un numero finito di cilindri, e suo volume la somma dei volumi dei cilindri parziali.

Ecco una proprietà delle aree, che vale anche per le aree esterna ed interna.

Se i punti comuni a due figure piane F₁, F₂ formano un segmento rettilineo r, ed F₁, F₂ giacciono da bande opposte rispetto ad r, l’area esterna (interna) della figura F = F₁ + F₂, vale la somma delle aree esterne (interne) delle F₁, F₂.

Per l’area interna si osservi che un poligono $p$ tutto interno ad $F$ è diviso da $r$ in due poligoni $p_{1}$, $p_{2}$ interni rispettivamente a $F_{1}$, $F_{2}$. E viceversa la somma di due tali poligoni $p_{1}$, $p_{2}$ si può considerare come un poligono $p$ (eventualmente non connesso) interno ad $F$. Tanto basta per asserire che il limite superiore dell’area dei $p$ (area interna di $F$) vale la somma dei limiti superiori delle aree dei $p_{1}$, $p_{2}$ (cioè delle aree interne di $F_{1}$, $F_{2}$).

Una dimostrazione analoga vale per le aree esterne. Si osservi a tal fine che l’area esterna di $F_{i}$ (per $i=1,2$) si può definire come il limite inferiore delle aree dei poligoni $P_{i}$ contenenti $F_{i}$ all’interno e posti rispetto ad $r$ dalla stessa banda di $F_{i}$. Per tali poligoni $P_{1}$, $P_{2}$, e per i poligoni $P$ contenenti $F$ all’interno si possono svolgere considerazioni analoghe alle precedenti relative a $p$, $p_{1}$, $p_{2}$.

Osservazioni critiche.

Il concetto intuitivo di dominio si può precisare nel modo seguente, in cui per brevità ci riferiremo a dominii piani (confronta la prima nota a piè di pagina 21).

Sia $C$ una classe di punti. Sia $A$ un punto di questa classe. Noi diremo che esso è interno a $C$, se esiste un cerchio di centro $A$, i cui punti appartengono tutti a $C$; diremo che un punto $B$ non appartenente a $C$ è esterno a $C$, se esiste un cerchio di centro $B$, nessun punto del quale appartiene a $C$.

Diremo che un punto $L$ del piano appartiene al contorno di $C$, se in ogni cerchio di centro $L$ esistono sia punti che appartengono, sia punti che non appartengono a $C$.