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equazioni differenziali

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il seg. teorema, che si può generalizzare a tutte le equazioni alle derivate parziali del primo ordine. Sia data l'equazione $X{\frac {\partial f}{\partial x}}+Y{\frac {\partial f}{\partial y}}=o$, ove $X,Y$ sono funzioni note di $x,y$, e dove $f$ è la funzione incognita. Sia $X\not =0$. Consideriamo l'equazione ${\frac {dy}{dx}}={\frac {Y}{X}}$ alle derivate ordinarie; e la $\varphi (x,y)=$ cost. definisca la sua soluzione più generale. Sarà $X{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+Y{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0$, perchè ${\frac {Y}{X}}={\frac {dy}{dx}}$ deve essere uguale a quel valore di $y'$, che dalla $\varphi =$ cost. si deduce in virtù del teorema delle funzioni implicite. Poniamo $x=x_{1},\varphi (x,y)=y_{1}$ e assumiamo $x_{1}y_{1}$ come nuove variabili indipendenti, come sarà generalmente possibile. Sarà:

${\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}$; ${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial f}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}$.

La nostra equazione diventa perciò ${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}=0$. Cioè le funzioni $f$ cercate sono tutte e sole le funzioni della $y_{1}$, cioè della $\varphi$. (Cfr. § 110, pag. 368).

Così p. es. le soluzioni di ${\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$ ($X=Y=1$) sono le funzioni di $x-y$, perchè le soluzioni di ${\frac {dy}{dx}}=1$ si pttengono risolvendo la $x-y=$ cost.

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In modo simile (cfr. il § 110, pag. 369) le soluzioni di

$X{\frac {\partial f}{\partial x}}+X_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+X_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+.....+X_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}=0$,

ove le $X,X_{1},...,X_{n}$ sono funzioni di $x,x_{1},x_{2},.....,x_{n}$, sono tutte e sole le funzioni di $\varphi _{1},\varphi _{2},.....,\varphi _{n}$, se le soluzioni del sistema

${\frac {dx}{X}}={\frac {dx_{1}}{X_{1}}}={\frac {dx_{2}}{X_{2}}}=.....={\frac {dx_{n}}{X_{n}}}$

si ottengono risolvendo le $\varphi _{1}=$ cost., $\varphi _{2}=$ cost., ....., $\varphi _{n}=$ cost. Ma non è nostro scopo approfondire e precisare simili studii.

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