Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/414

398

capitolo xix — § 119

---

Nel primo membro di (2), che è un polinomio omogeneo nelle $x'_{0},y'_{0},z'_{0}$, potrò a queste derivate sostituire le <$x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0}$, che per le (3) sono ad esse proporzionali.

Ne deduciamo che i punti $x,y,z$ della tangente in $A$ ad una qualsiasi delle nostre curve $C$ soddisfano alla:

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}(x-x_{0})+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}(y-y_{0})+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{0}(z-z_{0})=0\,\,$ (4)

La (4) non è un'identità, perchè già abbiamo escluso che $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{0}=\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)_{0}=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=0$: e, poichè è di primo grado nelle $x,y,z$, essa è l'equazione di un piano: il cosidetto piano tangente alla $S$ nel punto $A$. Quindi:

Se $\mathrm {f(x,y,z)=0}$ è l'equazione di una superficie $\mathrm {S}$, e se in un intorno di un punto $\mathrm {A}$ di $\mathrm {S}$ le $\mathrm {f'_{x},f'_{y},f'_{z}}$ sono finite e continue, mentre in $\mathrm {A}$ queste derivate non sono tutte nulle, si possono tirare su $\mathrm {S}$ infinite curve (dotate di tangente) uscenti da $\mathrm {A}$. Le tangenti in $\mathrm {A}$ a tutte queste curve giacciono in uno stesso piano (4): il piano tangente alla $S</manth>nelpunto<math>A$.

Se l'equazione della superficie è data sotto la forma:

$z=\varphi (x,y)$,

ossia, se $f=\varphi (x,y)-z$, l'equazione del piano tangente diventa:

$\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{0}(x-x_{0})+\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{0}(y-y_{0})-(z-z_{0})=0$.

Adottando la notazione di Monge:

                                        ${\frac {\partial \varphi }{\varphi x}}=p$,          ${\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=q$,

essa si ridurrà a

$p_{0}(x-x_{0})+q(y-y_{0})-(z-z_{0})=0$,

che è l'equazione cercata.

Volendo trovare i coseni direttori della normale $n$ al piano, basterà ricordare che tali coefficienti sono proporzionali ai coefficienti di $x,y,z$, cioè a $p_{0},q_{0},-1$.

Essi saranno $\lambda p_{0},\lambda q_{0},-\lambda$, dove il fattore $\lambda$ di proporzionalità si determina ricordando che deve essere

$[\lambda p_{0}]^{2}+[\lambda q_{0}]^{2}+\lambda ^{2}=1$.