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alcune applicazioni geometrice del calcolo, ecc.

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Otterremo:

$\lambda ={\frac {1}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$ ,

ed infine:

${\text{cos}}\,nx={\frac {p_{0}}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$ , ${\text{cos}}\,ny={\frac {q_{0}}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$ ,

${\text{cos}}\,nz={\frac {-1}{\pm {\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}+1}}}}$ ,

ove il doppio segno dipende dall'arbitrarietà con cui si può fissare il verso positivo della normale considerata.

È evidente l'analogia della (4) con l'equazione (10) trovata al § 84, pag. 285, per la retta tangente alla curva piana $f(x,y)=0$ nel punto $(x_{0},y_{0})$ .

§ 120. — Lunghezza di un arco di curva sgemba.

$\alpha$ ) Abbiamo già visto in parecchi esempi in cui si doveva cercare una funzione additiva d'intervallo, come se fosse assai spesso facilissimo definirne la derivata. Così, per es., mentre la ricerca dell'area racchiusa tra l'asse delle $x$ , la curva $y=F(x)$ , e due ordinate richiede una integrazione, la derivata di quest'area è semplicemente l'ordinata stessa $F(x)$ .

Così avviene nel problema di misurare la lunghezza di un arco di curva $C$ . Ma qui si presenta un'altra difficoltò. Che cosa vuol dire la frase: lunghezza di un arco di curva $C$ ? Noi tutti ne abbiamo un'idea intuitiva, ma il primo problema è appunto quello di tradurre nel modo più semplice questa idea intuitiva in una, diremo così, idea matematica; così da poter dare un mezzo per calcolare tale lunghezza¹.

Cominciamo a limitare l'insieme delle curve $C$ , di cui ci vogliamo occupare. Noi supporremo di limitarci a curve $C$ dotate in ogni punto di tangente variabile con continuità, le quali siano in corrispondenza biunivoca con la loro proiezione su una retta $r$ (in guisa cioè che punti distinti di $C$ abbiano proiezioni distinte). Sia $I$ la proiezione di $C$ su $r$ . Ogni seg-

↑ Questo problema è di atura affatto analoga a quello che si presenta per definire tutte le figure e grandezze geometriche. se si presume di conoscere già l'ente che si vuol studiare, si ammettono circa tale ente dei postulati. Se i suppone di non conoscerlo, si assumono questi postulati come definizione matematica dell'ente stesso.

[1] Questo problema è di atura affatto analoga a quello che si presenta per definire tutte le figure e grandezze geometriche. se si presume di conoscere già l'ente che si vuol studiare, si ammettono circa tale ente dei postulati. Se i suppone di non conoscerlo, si assumono questi postulati come definizione matematica dell'ente stesso.

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