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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc. 401

Si è così in più dimostrato che i postulati enunciati sono concordi con le definizioni elementari relative alla lunghezza degli archi di cerchio.

La definizione, data assai spesso che la lunghezza di una curva è il limite superiore dei perimetri delle poligonali inscritte è più in generale della precedente, ma non contrasta mai con essa. Non la adottiamo per le complicazioni che porterebbe una definizione analoga di area di una superficie sghemba.

È bene evidente che i postulati da noi posti hanno un significato indipendente dalla scelta della particolare retta su cui si proietta. Se la retta su cui si proietta, è l'asse delle , la derivata citata sarà , dove è l'angolo che la tangente forma con l'asse delle .

L'arco della curva compreso tra i punti di ascissa e sarà dunque nelle nostre ipotesi

Le nostre ipotesi equivalgono a dire che:

1° Le equazioni di si possano porre sotto la forma:

                                           ,   ,

perchè in tal caso il valore di (cioè la proiezione sull'asse delle ) individua il punto della curva.

2° La (§ 118) esiste ed è una funzione continua di (le hanno derivate conntinue).

In tal caso il nostro arco è dato da:

.

Posto , , si ha che il nostro arco vale

formola che, come è noto dalle regole di integrazione per sostituzione, è indipendente dalla variabile scelta come variabile di integrazione, e che si suole scrivere perciò

.

26 — G. Fusini, Analisi matematica.