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capitolo xix — § 120

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Ciò significa che, se $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$ sono le equazioni parametriche della curva, quel suo arco corrispondente a valori di $t$ dell'intervallo $(\alpha ,\beta )$ vale:

$\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}dt$.

Questa formola vale anche per curve, che siano in corrispondenza biunivoca con la proiezione sull'asse delle $y$, o sull'asse delle $z$; e si estende tosto a curve, che si possono scomporre in un numero finito di pezzi, ognuno dei quali sia in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione su uno dei tre assi.

Se noi indichiamo con $s$ l'arco contato da un'origine qualsiasi al punto $t$, è dunque $s'_{t}={\sqrt {{x'}_{t}^{2}+{y'}_{t}^{2}+{z'}_{t}^{2}}}$; cosicchè i coseni direttori della tangente alla curva sono (pag. 397):

${\frac {x'_{t}}{s'_{t}}}={\frac {dx}{ds}}$ , ${\frac {y'_{t}}{s'_{t}}}={\frac {dy}{ds}}$ , ${\frac {z'_{t}}{s'_{t}}}={\frac {dz}{ds}}$.

Affinchè il parametro $t$ coincida con l'arco $s$ misurato nell'uno o nell'altro verso a partire da uno o da un altro punto è dunque necessario e sufficiente che ${x'}_{t}^{2}+{y'}_{t}^{2}+{z'}_{t}^{2}=1$.

La nostra formola si può rendere intuitiva anche per altra via: la nostra definizione sarà così significativa anche con nuovo metodo. Un pezzetto piccolissimo della nostra curva ha per lunghezza l'incremento $d\,s$ che $s$ subisce passa ndo da un estermo all'altro; se noi lo consideriamo come rettilineo, avremo che $ds^{2}$ è uguale alla somma dei quadrati delle sue proiezioni $dx,dy,dz$ sui tre assi coordinati. È perciò $ds^{2}=sx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$.

Esempio.

Si trovi il perimetro dell'ellisse ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$. Le $x=a\,{\text{cos}}\,t,y=b\,{\text{sen}}\,t$ per $0\leq t\leq 2\,\pi$ sono le equazioni parametriche di tale ellisse. Il suo perimetro sarà:

$4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {a^{2}\,{\text{sen}}^{2}\,t+b^{2}\,{\text{cos}}^{2}\,t}}dt=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-{\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}\,{\text{cos}}^{2}\,t}}\,dt$.

Posto ${\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}=e^{2}$ (dove $e<1$) tale integrale si calcola integrando per serie come l'integrale dell'esempio al § 79, pag. 266.