Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/419

Da Wikisource.

alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc. 403

) Lunghezza di una curva piana in coordinate polari.

Posto , dalla si deduce che la lunghezza di una curva definita dalle:

                                        

vale

.

Consideriamo, p. es., la curva

                                                   ( cost.)</math>,

che si riduce a un cerchio per e a una spirale di Archimede per . Quel suo arco per cui ha per lunghezza

come si riconosce ponendo . Posto se ne deduce che è la periferia del cerchio di raggio . Il lettore studii il caso.


§ 121. — Area di una superficie sghemba ed integrali estesi ad una superficie sghema.

) Affatto analogo è lo studio dell'area di una superficie sghemba. Se tale superficie è in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione sul piano , ed è quindi rappresentabile con un'equazione , l'area di quel suo pezzo , che si proietta in un pezzo di si definirà nel modo più semplice come quella funzione additiva di , la cui derivata in un punto di è identica a quella che si otterrebbe sostituendo ala il suo piano tangente nel punto che si proietta in . Tale derivata (che supporremo finita e continua) vale dunque , se è l'angolo del primo quadrante che tale piano tangente forma col piano , cioè l'angolo del primo quadrante che la normale ad nel punto considerato forma con