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capitolo xix — § 121

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l'asse delle $z$¹. Poichè con le notazioni del § 119 si ha ${\text{cos}}\,\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}$, l'area $s$ del pezzo $s$ di $R$ sarà:

$\int {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}d\sigma$

esteso alla proiezione di $\sigma$ di $s$ sul piano $xy$.

Si noti che ciò equivale appunto alla

${\frac {ds}{d\sigma }}={\frac {1}{{\text{cos}}\,\alpha }}={\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}$.

Ed è facile verificare direttamente che tale integrale ha un significato indipendente dalla posizione degli assi coordinati, ed estendere tale formola a superfici composte di un numero finito di pezzi, ciascuno dei quali sia in corrispondenza biunivoca con la sua proiezione su un qualche piano, p. es., su uno dei tre piani coordinati.

Noi, anzichè occuparci di tali questioni, vogliamo aggiungere una sola importante osservazione.

$\beta$) Sia $S$ una funzione additiva dei pezzi $s$ di una tale superficie $R$. Se, com'è la convenzione più spontanea, adottiamo come misura $s$ di un pezzo $s$ l'area testè definita, la derivata $F$ di $S$ sarà ${\frac {dS}{ds}}$. Se consideriamo il valore di $S$ corrispondente a un pezzo $s$ di $R$ come funzione della proiezione $\sigma$ di $s$ suk piano $xy$, pssia, se adottiamo come misura di $s$ l'area $\sigma$ di tale proiezione, la derivata di $S$ sarà

${\frac {dS}{d\sigma }}={\frac {dS}{ds}}{\frac {ds}{d\sigma }}=={\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}F$.

Cosicchè:

$S=\int {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}F\,d\,\sigma =\int dx\int {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}Fdy$.

Questa formola riduce il calcolo di funzioni additive dei pezzi di una superficie $S$ a quello di un integrale pieno.

1. Vedremo che tale definizione concorda con la definizione elementare nel caso della sfera; cfr. le osservazioni del precedente § 120. Noto che qui, analogamente a quanto si è fatto in altri paragrafi, si indica con la stessa lettera $s$ un pezzo di $R$ e la sua area.