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capitolo ixi — § 122

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cioè è una funzione $\varphi (\rho )$ della sola $\rho$. E l'equazione della nostra superficie sarà del tipo:

                    $z=\varphi (\rho )$   cioè $x=\varphi (+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$                    (1)_bis

la sua intersezione col semipiano (si noti non col piano)

                                                  $y=0$     (dove $x$ è positivo).                    (2)

L'area della nostra superficie vale l'integrale

$\iint {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,dx\,dy$.

QUesto integrale si deve naturalmente estendere alla proiezione della superficie sul piano $xy$; questa proiezione è la corona circolare ottenuta facendo rotare attorno all'origine e sul piano $xy$ la proiezione sull'asse delle $x$ della curva (2) [o del pezzo di curva (2) considerato].

ora

$p={\frac {\partial z}{\partial x}}=\varphi '(\rho ){\frac {\partial \rho }{\partial x}}=\varphi '(\rho ){\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\varphi '(\rho ){\text{cos}}\,\theta$

     $q={\frac {\partial z}{\partial y}}=$                                                  $=\varphi '(\rho ){\text{sen}}\,\theta$

$1+p^{2}+q^{2}=1+{\varphi '}^{2}(\rho )$.

Perciò l'area $A$ di $S$ è data da:

$A=\iint {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,dx\,dy=\iint {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,dx\,dy=$

$=\iint {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,\rho \,d\,\rho \,d\,\theta =\int \,d\,\theta \,\int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\,\rho \,d\,\rho =$

$=2\,\pi \,\int \,{\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\rho \,d\,\rho$,^[1]

che si può scrivere:

$A=2\pi \int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(x)}}x\,dx=$

               $2\,\pi \int {\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}}}\,xdx=2\,\pi \int xds$                              (3)

1. Si noti che $\int {\sqrt {1+{\varphi '}^{2}(\rho )}}\rho \,d\,\rho$ (i cui limiti sono i raggi della precedente circolare) è indipendente dalla $\theta$, e che l'integrazione rispetto a $\theta$ è fatta nell'intervallo $(0,2\pi )$.