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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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dove con $ds={\sqrt {dx^{2}+dz^{2}}}$ indico ora il differenziale dell'arco della curva $C$, e l'integrale si deve estendere all'intervallo, in cui varia la $s$. quando si descrive $C$.

La (3) costituisce la formola fondamentale per il calcolo dell'area di una superficie di rotazione.

Essa si può rendere intuitiva, osservando che ogni pezzetto $ds$ della curva $C$ genera rotando un tronco di cono, le cui sezioni circolari sono cerchi di raggio $x$, e la cui area e quindi $2\,\pi \,xds$. Questa osservazione non ha però, così esposta, alcuna pretesa di rigore. Resa rigorosa, essa dimostra che l'area di una superficie di rotazione è il limite dell'area generata dalla rotazione di un poligono inscritto nel profilo meridiano, quando i lati di esso tendono a zero. Lo studioso deduca la (3) ammettendo questo teorema.

Esercizio.

Si calcoli l'area della sfera di raggio $R$.

Se la sfera ha per centro l'origine, essa è generata dalla rotazione attorno all'asse delle $z$ di un semicerchio $C$ di raggio $R$ posto nel solito semipiano $xz$. Se $\varphi$ è l'angolo che un raggio generico del semicerchio $C$ forma con l'asse delle $x$, e assumiamo come origine degli archi $s$ il punto in cui $C$ incontra l'asse delle $x$, si ha: $s=R\,\varphi$. D'altra parte $x=R\,{\text{cos}}\,\varphi$; e il semicerchio si descrive facendo variare $\varphi$ da $-{\frac {\pi }{2}}$ a $+{\frac {\pi }{2}}$.

L'area della sfera vale dunque

$2\,\pi \,\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\,(R\,{\text{cos}}\,\varphi )\,Rd\,\varphi =2\,\pi \,R^{2}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\,{\text{cos}}\,\varphi \,d\,\varphi =4\,\pi \,R^{2}$,

che coincide col valore dato dalla geometri elementare.

Teor. di Guldino La (1) si può interpretare con un teorema analogo a quello del § 106, pag. 346, osservando che, se $L$ è la lunghezza della curva rotante, $d$ la distanza dell'asse delle $z$ (cioè l'ascissa) del suo centro di gravità, allora $Ld=\int \,x\,ds$.

Se ne deduce: L'area di una superficie di rotazione vale $\mathrm {2\,\pi \,Ld}$, cioè vale il prodotto della lunghezza $\mathrm {L}$ di un profilo meridiano per la lunghezza $\mathrm {2\,\pi \,d}$ della circonferenza descritta nella rotazione del centro di gravità di tale profilo.