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capitolo xix — § 122-123

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Esempio.

Centro di gravità di una semicirconferenza. Una semicirconferenza di raggio $R$ e lunghezza $\pi \,R$ descrive, rotando attorno al suo diametro, una sfera di area $4\,\pi \,R^{2}$. La distanz $d$ dal centro di gravità della semicirconferenza al diametro soddisfa perciò alla $4\,\pi \,R^{2}=\pi R.2\,\pi \,d$, e vale dunque $d={\frac {2\,R}{\pi }}$.

§ 123. — Piano osculatore ad una curva sghemba.

Sia data una curva $C$ definita dalle equazioni:

                              $x=x(t)$;   $y=y(t)$;   $z=z(t)$                                   (1)

i cui secondi membri abbiano derivate prime e seconde continue in un intorno di $t=t_{0}$.

Sia $A$ il punto di $C$ corrispondente al valore $t_{0}$ della $t$; e siano $B,D$ i punti corrispondenti ai valori $t_{0}+h,t_{0}+k$. I punti $A,B,D$ giacciono nel piano $\pi$ di equazione

                                                  $ax+by+cz+d=0$.                              (2)

I punti comuni a $C$ ed a $\pi$ soddisfano all'equazione $ax(t)+by(t)+cz(t)+d=0$, che si ottiene eliminando tra (1) e (2) le coordinate correnti $x,y,z$. Ciò avviene il particolare dei punti $A,B,D$; cosicchè la funzione della $t$

                               $F(t)=ax(t)+by(t)+cz(t)+d$                            (3)

sarà nulla per $t=t_{0},t=t_{0}+h,t=t_{0}+k$. per il teorema di Rolle nel più grande dei segmenti determinati da questi tre punti esistono almeno due punti $t,t_{2}$, ove $F'(t)$ è nulla, e quindi almeno un punto $t_{3}$, ove è nulla $F''(t)$. Sarà quindi in particolare [posto $x_{0}=x(t_{0})$; $y_{0}=y(t_{0})$, ecc.]

                               $ax_{0}$        $+by_{0}$         $+cz_{0}$       $+d=0$

                               $ax'(t_{1})+by'(t_{1})+cz'(t_{1})$       $=0$                          (4)

                               $ax''(t_{2})+by''(t_{2})+cz''(t_{2})$     $=0$.

Se le (4) individuano¹ i rapporti $a:b:c:d$ (cioè se nessuna delle (4) è combinazione lineare delle precedenti), i punti <mathZ A, B, D</math> non sono in linea retta; e il piano $ABD$ è determinato dalle stesse (4). Noi supporremo che così avvenga effettivamente.

1. Aggiungendo alla (4) la identità $0.a+0.b+0.c+0.d=0$ vi ha un sistema di $4$ equazioni omogenee dennel$4$ incognite $a,b,c,d$; il quale, se è di caratteristica $3$, determina, come si è visto al § 27, pag. 89, le $a,b,c,d$ a meno di un fattore comune, $\lambda$, o, ciò che è lo stesso, determina i rapporti $a:b:c:d$.