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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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terza delle (12) definisce a meno di multipli di $\pi$ (com'è naturale, perchè non è data a priori la direzione positiva della retta tangente) e che invece con le prime due delle (12) noi abbiamo definito ora completamente (cioè a meno di multipli di $2\,\pi$ , perchè ne abbiamo dato seno e coseno). È così:

$\xi =-x-R\,{\text{sen}}\,\theta$ ; $\eta =y+R\,{\text{cos}}\,\theta$ . (13)

Notiamo che la

$ds=\epsilon {\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}dt$

definisce l'arco $s$ della curva (a meno di una costante additiva) in grandezza e verso (dipendente dal segno di $\epsilon$ ); le (12) diventano così $\left({\text{posto}}\,s'={\frac {ds}{dt}}\right)$ : ${\text{cos}}\,\theta ={\frac {x'}{s'}}={\frac {dx}{dx}}$ , ${\text{sen}}\,\theta ={\frac {y'}{s'}}={\frac {dy}{ds}}$ ¹ (14)

Posto $\theta '={\frac {d\theta }{dt}}$ , si ottiene derivando lpultima delle (12)

$\theta ={\text{arctg}}\,{\frac {y'}{x'}}$ ,

$\theta '={\frac {y''x'-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}$ .

↑ L'aver fissato $\theta$ (a meno di moltipli di $2\,\pi$ ) corrisponde ad aver fissato sulla retta tangente il verso $t$ da considerarsi come positivo. Le (14) provano che il verso fissato come positivo per $s$ concorda al verso $t$ assunto come positivo sulla tangente deve rotare (nel verso positivo) di un angolo retto ${\frac {\pi }{2}}$ per sovrapporsi a quella semiretta $n$ (normale) che dal punto ( $x,y$ ) va al centro ( $\xi ,\eta$ ) del cerchio osculatore; cioè guardando dal punto ( $x,y$ ) la direzione $t$ scelta come positiva della tangente, si ha a sinistra il centro $(\xi ,\eta )$ del centro osculatore (che rimane evidentemente dalla parte, a cui la curva volge la concavità). Infatti i coseni direttori di $n$ sono

${\frac {\xi -x}{R}}=-{\text{sen}}\,\theta ={\text{cos}}\,\left(xt+{\frac {\pi }{2}}\right)$ e ${\frac {\eta -y}{R}}={\text{cos}}\,\theta ={\text{cos}}\,\left(yt+{\frac {\pi }{2}}\right)$

perchè l'angolo $xt=\theta$ , e l'angolo $yt=yx+xt=-{\frac {\pi }{2}}+\theta$ . $\left({\text{Si suppone che, secondo le convenzioni usuali, si abbia:}}xy={\frac {\pi }{2}}\,{\text{ed}}\,yx=-{\frac {\pi }{2}}\right)$ .

[1] L'aver fissato $\theta$ (a meno di moltipli di $2\,\pi$ ) corrisponde ad aver fissato sulla retta tangente il verso $t$ da considerarsi come positivo. Le (14) provano che il verso fissato come positivo per $s$ concorda al verso $t$ assunto come positivo sulla tangente deve rotare (nel verso positivo) di un angolo retto ${\frac {\pi }{2}}$ per sovrapporsi a quella semiretta $n$ (normale) che dal punto ( $x,y$ ) va al centro ( $\xi ,\eta$ ) del cerchio osculatore; cioè guardando dal punto ( $x,y$ ) la direzione $t$ scelta come positiva della tangente, si ha a sinistra il centro $(\xi ,\eta )$ del centro osculatore (che rimane evidentemente dalla parte, a cui la curva volge la concavità). Infatti i coseni direttori di $n$ sono

${\frac {\xi -x}{R}}=-{\text{sen}}\,\theta ={\text{cos}}\,\left(xt+{\frac {\pi }{2}}\right)$ e ${\frac {\eta -y}{R}}={\text{cos}}\,\theta ={\text{cos}}\,\left(yt+{\frac {\pi }{2}}\right)$

perchè l'angolo $xt=\theta$ , e l'angolo $yt=yx+xt=-{\frac {\pi }{2}}+\theta$ . $\left({\text{Si suppone che, secondo le convenzioni usuali, si abbia:}}xy={\frac {\pi }{2}}\,{\text{ed}}\,yx=-{\frac {\pi }{2}}\right)$ .

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