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capitolo xix — § 124

Quindi

${\frac {d\theta }{ds}}={\frac {\theta '}{s}}=\epsilon {\frac {y''s'-y'x''}{({x'}^{2}+{y'}^{2})^{\frac {3}{2}}}}$ , cioè:

(15) ${\frac {d\theta }{ds}}={\frac {1}{R}}$ .

Differenziano (13), ricordando (14) e (15), si ha:

$d\xi =dx-R\,{\text{cos}}\,\theta d\theta -{\text{sen}}\,\theta dR={\text{sen}}\,\theta dR$

$d\eta ={\text{cos}}\,\theta dR$ ,

donde:

${\frac {d\eta }{d\xi }}=-{\text{cotg}}\,\theta ={\frac {y-\eta }{x-\xi }}$ (16)

$d\xi ^{2}+d\eta ^{2}=dR^{2}$ . (17)

Le (15), (16), (17), hanno interpretazioni notevolissime. Si noti che l'incremento $\Delta 0$ subito dall'angolo $\theta$ , quando si passa da una ad un'altra tangente, vale proprio l'angolo di queste due tangenti. Il rapporto ${\frac {1}{R}}$ dicesi curvatura della linea. Quindi la (15) di dice:

La curvatura in un punto $\mathrm {A}$ è il limite del rapporto $\mathrm {\frac {\Delta \theta }{\Delta s}}$ ottenuto dividendo l'angolo $\mathrm {\Delta \theta }$ formato dalle rette tangenti alla curva data nel punto $\mathrm {A}$ ed in un altro punto $\mathrm {B}$ della curva, per la lunghezza $\mathrm {\Delta s}$ dell'arco $\mathrm {AB}$ , quando il punto $\mathrm {B}$ tende al punto $\mathrm {A}$ .

Al variare del punto $(x,y)$ sulla curva data, il punto $(\xi ,\eta )$ descrive un'altra curva: la cosidetta evoluta della data curva.

L'evoluta è dunque il luogo dei centri $\mathrm {(\xi ,\eta )}$ dei cerchi osculatori.

La tangente all'evoluta in un suo punto $\mathrm {(\xi ,\eta )}$ è la retta che congiunge $\mathrm {(\xi ,\eta )}$ al punto $\mathrm {(x,y)}$ corrispondente slla curva iniziale, cioè è la normale alla curva data.

Infatti il coefficiente angolare di tale tangente ${\frac {d\eta }{d\xi }}$ è per (16) uguale a $-{\frac {1}{{\text{tg}}\,\theta }}$ (coefficiente angolare della normale alla curva