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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc

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data) od anche a ${\frac {\eta -y}{\xi -x}}$ coefficiente angolare dela congiungente i punti $(x,y)$ e $(\xi ,\eta )$. Cioè in altre parole:

Le rette normali a una curva sono le tangenti della evoluta, o, come si suol dire, sviluppano l'evoluta.

Infine si noti che, se $\sigma$ è l'arco dela evoluta, è per (17)

$d\sigma ^{2}=d\xi ^{2}+d\eta ^{2}=dR^{2}$.

Fissando in modo opportuno il verso di $\sigma$, sarà dunque

               $d\sigma =dR$, donde $\sigma =\int \,dR$     ,     $\sigma =R+$ cost.

Cioè l'arco dell'evoluta e, a meno d'una costante additiva¹, uguale al corrispondente raggio math>\mahrm{R}</math>: in altre parole l'arco di evoluta compreso tra due punti di questa è uguale alla differenza dei corrispondenti raggi dei cerchi osculatori della curva data.

Una curva $C$ si dice l'evolvente della propria evoluta $C_{1}$. Il precedente teorema dà un metodo assai comodo per costruire le evolventi $C$ di una data curva $C_{1}$. Se un filo di lunghezza costante avvolto attorno a $C_{1}$ si svolge, in modo che la parte svolta rimanga tesa (lungo la tangente di quel punto di $C_{1}$ ove il filo si stacca da $C_{1}$), l'estremità libera del filo descriverà l'evolvente $C$; anzi ciò rende intuitivo il teorema che una curva $C_{1}$ ha infinite evolventi, le quali si ottengono tutte, variando la lunghezza del filo, o il verso in cui è avvolto su $C_{1}$. Ci basti ancora osservare che, se un pendolo $M$ è retto da un filo flessibile $OM$, il quale, mentre $M$ oscilla, deve avvolgersi su una curva $C$, allora $M$ descrive durante tale oscillazione una evolvente $C$. Su tale principio è fondato il pendolo cicloidale il quale è perfettamente isocrono, e impiega tempi uguali a fare oscillazioni qualsiasi, per quanto ampie.

$\gamma$)Per dimostrare effettivamente che una curva $C_{1}$ possiede infinite evolventi $C$, si proceda nel modo seguente. Siano $\xi ,\eta$ le coordinate di un punto di $C_{1}$ e ne sia $\sigma$ l'arco, che è individuato a meno del segno, e aeno di una costante additiva. Per ogni particolare scelta di $\sigma$ si otterrà una particolare evolvente. Infatti, fissato $\sigma$, e posto $R=\sigma$, le $d\xi =-{\text{sen}}\,\theta \,d\,R$ e $d\eta ={\text{cos}}\,\theta \,d,R$ individuano un angolo $\theta$, e le (13) ci dànno il punto $(x,y)$. Ed è ben evidente che questo punto $(x,y)$ descrive una delle evolventi cercate. Esso soddisfa infatti a (16) e perciò esso si trova sulla retta uscente da $(\xi ,\eta )$ col coefficiente angolare $-{\text{cotg}}\,\theta ={\frac {d\eta }{d\xi }}$, cioè sulla tangente

1. Che varia, quando si cambia il punto dell'evoluta scelto come origine degli archi $\sigma$.