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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc. |
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Si dimostra che i coseni di direzione della normale principale sono proporzionali a 1, ossia sono uguali ad , dove si determinerà in modo che:
;
cosicchè: .
Ma il radicale non è altro che la curvatura; quindi
;
e i coseni di direzione della normale principale saranno:
, , .
L'inverso della torsione si chiama raggio di torsione, l'inverso della curvatura si chiama raggio di curvatura.
) Applichiamo le considerazioni fatte alle curve piane. Per una curva posta nel piano avremo
,
se, ricordiamo, il parametro rispetto a cui si deriva, è lo stesso arco della curva. Il lettore noti che questa formola coincide con l'ultima del § 124 (pag. 416).
Osservazione. Se sono le coordinate di un punto di una curva date in funzione dell'arco , abbiamo già visto che
sono rispettivamente i coseni direttori della tangente e della normale principale. Se considerino ora come funzioni di un altro parametro pure individuante
- ↑ Infatti, dall'equazione stessa del piano osculatore, risulta che una retta , i cui coseni di direzione sono proporzionali a , è parallela a tale piano. E, poichè dalla si deduce derivando , la retta è perpendicolare alla tangente. Quindi è parallela alla normale principale. S'intende che questo risultato vale soltanto, se si assume l'arco come variabile indipendente.