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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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Si dimostra che i coseni di direzione della normale principale sono proporzionali a $x'',y'',z''$ ^[1], ossia sono uguali ad $hx'',hy'',hz''$ , dove $y$ si determinerà in modo che:

$h^{2}\left\{{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}\right\}=1$ ;

cosicchè: $h={\frac {1}{\sqrt {{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}}}}$ .

Ma il radicale ${\sqrt {{x''}^{2}+{y''}^{2}+{z''}^{2}}}$ non è altro che la curvatura; quindi

$h={\frac {1}{\text{curvatura}}}$ ;

e i coseni di direzione della normale principale saranno:

${\frac {x''}{\text{curvatura}}}$ , ${\frac {y''}{\text{curvatura}}}$ , ${\frac {z''}{\text{curvatura}}}$ .

L'inverso della torsione si chiama raggio di torsione, l'inverso della curvatura si chiama raggio di curvatura.

$\delta$ ) Applichiamo le considerazioni fatte alle curve piane. Per una curva posta nel piano $z=0$ avremo

$={\sqrt {{\begin{vmatrix}x'&y'&0\\x''&y''&0\end{vmatrix}}^{2}}}={\sqrt {{\begin{vmatrix}x'&y'\\x''&y''\end{vmatrix}}^{2}}}=\pm (x'y''-y'x'')$ ,

se, ricordiamo, il parametro rispetto a cui si deriva, è lo stesso arco $\mathrm {s}$ della curva. Il lettore noti che questa formola coincide con l'ultima del § 124 (pag. 416).

Osservazione. Se $x,y,z$ sono le coordinate di un punto di una curva date in funzione dell'arco $s$ , abbiamo già visto che

$\alpha ={\frac {dx}{ds}}$ , $\beta ={\frac {dy}{ds}}$ , $\gamma ={\frac {dz}{ds}}$ ,

$\xi =\rho {\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}$ , $\eta =\rho {\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}$ , $\xi =\rho {\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}$ ( $\rho =$ raggio curvatura)

sono rispettivamente i coseni direttori della tangente e della normale principale. Se considerino ora

x,y,z

come funzioni di un altro parametro

t

pure individuante

↑ Infatti, dall'equazione stessa del piano osculatore, risulta che una retta $r$ , i cui coseni di direzione sono proporzionali a $x'',y'',z''$ , è parallela a tale piano. E, poichè dalla ${x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}=1$ si deduce derivando $x'\,x''+y'\,y''+z'\,z''=0$ , la retta $r$ è perpendicolare alla tangente. Quindi $r$ è parallela alla normale principale. S'intende che questo risultato vale soltanto, se si assume l'arco $s$ come variabile indipendente.

[1] Infatti, dall'equazione stessa del piano osculatore, risulta che una retta $r$ , i cui coseni di direzione sono proporzionali a $x'',y'',z''$ , è parallela a tale piano. E, poichè dalla ${x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}=1$ si deduce derivando $x'\,x''+y'\,y''+z'\,z''=0$ , la retta $r$ è perpendicolare alla tangente. Quindi $r$ è parallela alla normale principale. S'intende che questo risultato vale soltanto, se si assume l'arco $s$ come variabile indipendente.

[1]