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capitolo xix — § 126

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i punti della stessa curva. Anche l'arco $s$ sarà una funzione della $t$. E avremo, posto $s_{t}={\frac {ds}{dt}}$, $s'_{t}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}$:

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx}{ds}}s'_{t}=\alpha \,s'_{t}$, ${\frac {dy}{dt}}=\beta \,s'_{t}$, ${\frac {dz}{dt}}=\gamma s'_{t}$,

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{ds}}s'_{t}\right)={s''}_{t}{\frac {dx}{ds}}+s_{t}^{2}{\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}=\alpha {s''}_{t}+{\frac {1}{\rho }}{s'}_{t}^{2}\xi$;

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\beta s_{t}+{\frac {1}{2rho}}{s'}_{t}^{2}\eta$; ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\gamma {s''}_{t}+{\frac {1}{\rho }}{s'}_{t}^{2}\xi$

Le quali formole, fondamentali per la cinematica, ci permettono facilmente di ricavare i valori di $\alpha ,\beta ,\gamma ,\zeta \,\eta ,\xi$ dai valori delle derivate $x,y,z,s$ rispetto alla $t$. Si deduce, per esempio:

${\frac {1}{\rho }}\xi ={\frac {s'_{t}{x''}_{t}-x'_{t}{s''}_{t}}{{s'}_{t}^{2}}}$ e analoghe.

Quest'ultima formola si poteva anche ottenere, ricordando che:

${\frac {1}{\rho }}\xi ={\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}={\frac {d}{ds}}\left({\frac {dx}{ds}}\right)={\frac {d}{ds}}\left({\frac {x'_{t}}{s'_{t}}}\right)={\frac {1}{s'_{t}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x'_{t}}{s'_{t}}}\right)$.

Note le $\alpha ,\beta ,\gamma ,{\frac {1}{\rho }}\xi ,{\frac {1}{\rho }}\eta ,{\frac {1}{\rho }}\zeta$ si ricava tosto $\rho$ ricordando che:

${\frac {1}{\rho ^{2}}}=\left[{\frac {1}{\rho }}\xi \right]^{2}+\left[{\frac {1}{\rho }}\eta \right]^{2}+\left[{\frac {1}{\rho }}\zeta \right]^{2}$.

E i coseni direttori della bnormale si hanno tosto, osservando che questa retta è normale alla tangente e alla normale principale.

Esempi.

1° Determinare l'equazione della catenaria, la curva cioè che soddisfa alla:

               ${\frac {dy}{dx}}=hs$     ($h=$ cost.; $s=$ arco curva) ($h\not =0$).

Derivando rispetto $x$ si ha, poichè ${\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$:

${\frac {d^{y}}{d^{2}x}}=h{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$.

Per integrare questa equazione si può seguire il metodo generale. Più brevemente si ponga ${\frac {dy}{dx}}={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}\left[{\text{ossia}}\,z=\log \left\{{\frac {dy}{dx}}+{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\right\}\right]$, dove $z$ è una nuova funzione incognita. L'equazione diverrà

${\frac {e^{x}+e^{-z}}{2}}{\frac {dz}{dx}}={\sqrt {\left({\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}\right)^{2}}}$ ossia ${\frac {dz}{dx}}=h$, donde $z=hx+k$

($k=$ cost.).