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alcune applicazioni geometriche del calcolo, ecc.

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È dunque ${\frac {dy}{dx}}={\frac {e^{hx+k}+e^{-(hx+k)}}{2}}$; e infine, integrando:

$y={\frac {e^{hx+k}-e^{-(hk+k)}}{2h}}+l$,

dove $l$ è, come $k$, una costante arbitraria.

Con una traslazione degli assi si può fare $k=l=0$, e quindi $y={\frac {e^{hx}+e^{-hx}}{2\,h}}$. Con una similitudine (omotetia rispetto all'origine) la curva si trasforma nella $y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\text{cos}}\,h\,x$.

Defin. Si dicono sottotangente e sottonormale in un punto $A$ di una curva $y=f(x)$ i segmenti compresi tra la proiezione di $A$ sull'asse delle $x$, e il punto di intersezione di questo asse con la tangente o la normale in $A$ alla curva considerata.

2° Trovare la sottotagente e la sottonormale per una curva $y=f(x)$ nel punto di ascissa (x).

Ris. L'equazione della tangente e della normale (indicando con $X,Y$ le coordinate correnti) è rispettivamente:

$[f(x)-Y]+f'(x)[X-x]=0$; $f'(x)[Y-f(x)]+[X-x]=0$.

Posto $Y=0$, se ne rispettivamente deduce per l'ascissa $X$ del punto di intersezione con l'asse delle $x$:

$X=x-{\frac {f(x)}{f'(x)}}x-{\frac {y}{y'}}$; $X=x+f(x)f'(x)=x+yy'$,

donde:

3° Trovare le curve e sottotangente o sottonormale costante $k$.

Si ha $-{\frac {y}{y'}}=k\left({\text{ossia}}\,{\frac {y'}{y}}={\frac {-1}{k}}\right)$ o $yy'=k$.

Se ne deduce integrando

che sono rispettivamente una curva esponenziale, ed una parabola.

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