Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/445

integrali curvilinei e superficiali

429

---

$\delta$) Se esiste una funzione $V(x,y,z)$ tale che $dV=Xdx+Ydy+Zdz$, si dimostra, come a pag. 303, che il nostro integrale è uguale alla differenza dei valori che la $\mathrm {V}$ assume nei punti $\mathrm {A,B}$ estremi della curva, a cui è esteso il nostro integrale, e che esso perciò dipende soltanto dalla posizione dei punti $\mathrm {A,B}$ e non dalla forma della curva $\mathrm {C}$ che li congiunge.

Tale funzione $V$ esiste, P. es., in un parallelepipedo (§ 92, pag. 306) in cui valgono le

$X'_{y}-Y'_{x}=Y'_{s}-Z'_{y}=Z'_{x}-X'_{z}=0$.

Esempio.

La teoria degli integrali curvilinei riceve un'importante applicazione alla misura del lavoro di una forza, le cui componenti secondo gli assi coordinati sono $X,Y,Z$, quando il punto di applicazione $M$ descrive la curva

$x=x(t),\,\,\,\,\,$$y=y(t),\,\,\,\,\,$$z=z(t)$.

Ci chiediamo, usando il linguaggio infinitesimale_ Qual è il lavoro eseguito quando $M$ descrive un archetto di tale curva, le cui proiezioni segli assi coordinati sono $dx,dy,dz$? Se $F$ è la grandezza della forza, $ds$ è la lunghezza di un tale archetto, tale lavoro $Fds\,{\text{cos}}\,(F,s)$ dove con ${\text{cos}}\,(F,s)$ indico il coseno dell'angolo che $F$ forma con la tangente all'elemendo di curva considerato. I lavoro eseguito, quando $M$ descrive un certo pezzo della nostra curva, sarà così:

$\int \,F\,{\text{cos}}\,(F,s)ds=\int \,(Xdx+Xdy+Zdz)$

esteso all'arco di curva considerato¹.

Quando mai un tale lavoro dipende solanto dalle posizioni estreme assunte dal punto $M$ e non dalla particolar curva che le congiunge? Per il risultato precedente si ha che 8almeno se ci muoviamo in parallelepipedo, ecc), ciò avviene se

${\frac {\partial X}{\partial y}}={\frac {\partial Y}{\partial x}}$; ${\frac {\partial Y}{\partial z}}={\frac {\partial Z}{\partial y}}$; ${\frac {\partial Z}{\partial x}}={\frac {\partial X}{\partial z}}$.

Nel qual caso esiste una funzione $V$ per cui

${\frac {\partial V}{\partial x}}=X,{\frac {\partial V}{\partial y}}=Y,{\frac {\partial V}{\partial z}}=Z$;

1. Si noti che $F\,{\text{cos}}\,(F,s)$ è la proiezione di $F$ sulla tangente alla curva oppure che $d\ s\,{\text{cos}}\,(F,s)$ è la proiezione dell'arco infinitesimo $d\,s$ sulla direzione della forza.