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capitolo xx — § 128

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$C,C',C''$ i contorni di $\gamma ,\gamma ',\gamma ''$. Siano $C'_{1}$ e $C'_{2}$ quei pezzi del contorno $C'$ (fig. 45), i cui punti rispettivamente appartengono e non appartengono al contorno Fig. 45.$C''$ e siano ${C'''}_{1}$ e ${C'''}_{2}$ quei pezzi di $C''$ i cui punti rispettivamente appartengono al controno $C'$.

Sarà: $\int _{C'}\,X\,dx\,=\,\int _{{C'}_{1}}\,X\,dx+\,\int _{{C'}_{2}}\,X\,dx$ $\int _{C'''}\,X\,dx\,=\,\int _{{C''}_{1}}\,X\,dx\,+\,\int _{{C''}_{2}}\,X\,dx$.

Evidentemente $C'_{1}$ e ${C''}_{1}$ sono archi di curve coincidenti, ma percorsi in verso opposto. Quindi:

$\int _{C'_{1}}\,X\,dx+\,\int _{{C''}_{1}}\,X\,dx=0$,

e perciò dalle precedenti formole si ottiene, sommando:

$\int _{C'_{2}}\,X\,dx+\,\int _{{C''}_{2}}\,X\,dx=\int _{C}\,X\,dx+\,\int _{C'}\,X\,dx$.

Ma $C'_{2}$ e ${C''}_{2}$ formano complessivamente il contorno $C$ di $\gamma =\gamma '+\gamma ''$, e sono percorsi nello sesso verso, sia come appartenenti al contorno di $\gamma '$ o $\gamma ''$, sia come appartenenti al contorno di $\gamma$. L'ultima equazione dà dunque:

$\int _{C}\,X\,dx=\,\int _{C'_{2}}\,X\,dx+\,\int _{C'_{2}}\,X\,dx=\,\int _{C'}\,X\,dx+\,\int _{C''}\,X\,dx$.

c.d.d.

Questo teorema si può enuncaire dicendo:

Lo integrale $\mathrm {\int \,X\,dx}$ esteso al contorno di un campo $\mathrm {\gamma }$ è una funzione additiva di $\mathrm {\gamma }$.

Ciò rende intuitivo che in molti casi tale integrale curvilineo si potrà trasformare in un integrale superficiale esteso a $\gamma$.

Ciò appunto è approvato dal seguente teorema, da cui risulta precisamente che la derivata di tale funzione additiva vale comunemente ${\frac {\partial X}{\partial x}}$.