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integrali curvilinei e superficiali

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Teorema 2°. — Se $\mathrm {\gamma }$ è un'area del piano $\mathrm {xy}$; e $\mathrm {X(x,y)}$ vi è finita e continua insieme alla $\mathrm {\frac {\partial X}{\partial x}}$, e se $\mathrm {C}$ è il contorno di $\mathrm {\gamma }$, allora:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{C}\,X\,dy$¹.

Supponiamo dapprima che una retta $y=$ cost. incontri $C$ al più in due punti.

Si ha:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{m}^{M}\,dy\,\int _{A_{1}}^{A_{2}}\,{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx$,

dove $m,M$ sono il minimo e il massimo di $y$ in $\gamma$, ed $A_{1},A_{2}$ sono i punti ove una retta $y={\text{cost}}.$ (compresa tra le $y=m$ e $y=M$ incontra $C$ (fig. 46).

Fig. 46. Se indichiamo con $X_{2}$ e $X_{1}$ i valori di $X$ in $A_{2},A_{1}$, se ne deduce:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{m}^{M}\,dy(X_{2}-X_{1})=\int _{m}^{M}\,X_{2}dy-\int _{m}^{M}\,X_{1}\,dy$.

Ossia, indicando con $C_{1}$ e $C_{2}$ gli archi $HA_{1}K$ e $HA_{2}K$,

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}\,dx\,dy=\int _{C_{2}}\,X_{2}\,dy-\int _{C_{1}}\,X_{1}\,dy=\int _{{\text{arc}}HA_{2}K}\,X\,dx+\int _{{\text{arc}}KA_{1}H}\,X,dx=\int _{C}=\,X\,dx$.

1. È sempre sottinteso che il campo $\gamma$ e il suo contorno $C$ sieno tali che questi integrali abbiano significato secondo le nostre definizioni.