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capitolo xx — § 128

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Se invece $C$ fosse incontrata da qualche parallela all'asse delle $x$ in più di due punti, supponiamo $\gamma$ scomponibile in un numero finito di parti $\gamma _{1},\gamma _{2},.....,\gamma _{n}$, i cui contorni $C_{1},C_{2},.....,C_{n}$ siano incontrati da tali parallele al più di due punti. Per il teorema 1° e per quanto abbiamo ora dimostrato si avrà:

$\iint _{\gamma }{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\sum _{i=1}^{n}\,\iint _{\gamma _{1}}{\frac {\partial X}{\partial x}}dx\,dy=\sum _{1}^{n}\int _{C}X\,dy=\int _{C}X\,dy$,

c.d.d.

Teorema 3°. — Se in $\mathrm {\gamma }$ le $\mathrm {Y}$ e $\mathrm {\frac {\partial Y}{\partial y}}$ sono funzioni finite e continue,

$\int _{\gamma }{\frac {\partial Y}{\partial y}}dx\,dy=-\int _{C}\,Y\,dx$.

Questo teorema si dimostra come sopra: il segno $-$, che qui compare al secondo membro, dipende da ciò che, mentre l'asse positivo delle $y$ è a sinistra dell'asse positivo delle $x$, l'asse positivo delle $x$ è a destra dell'asse positivo delle $y$. L'uguaglianza che si ottiene sommando o sottraendo le formole dei teoremi 2° e 3° si suole scrivere così:

$\iint _{\gamma }\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\pm {\frac {\partial Y}{\partial y}}\right)dx\,dy=\int (X\,dy\mp Y\,dx),\,\,\,\,\,$(1)

dove i segni superiori (o inferiori) sono da adottarsi contemporaneamente nei due membri.

Osserviamo che ${\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}}$ sono in valore assoluto e in segno i coseni di direzione della tangente $t$ (volta nel verso sopra definito) quando con $s$ si indichi l'arco del contorno di $\gamma$, o di un suo pezzo, crescente nel verso in cui tal pezzo di contorno si deve percorrere. Poichè gli angoli ${\widehat {tn}}$ e ${\widehat {xy}}$ (nelle nostre convenzioni) sono uguali a ${\frac {\pi }{2}}$, sarà:

${\frac {dx}{ds}}={\text{cos}}\,(xt)={\text{cos}}\,(xy+yn+ny)={\text{cos}}\,(yn)$

${\frac {dy}{ds}}={\text{cos}}\,(yt)={\text{cos}}\,(yx+xn+nt)={\text{cos}}\,(xn-\pi )=-{\text{cos}}\,(xn)$.