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integrali curvilinei e superficiali 443

che il precedente Jacobiano è positivo, o negativo, sarà, ricordando i teoremi del § 128, e supponendo percorso in modo da lasciare a sinistra:

,

dove, nell'ultimo membro, ho di nuovo considerato funzione delle . Riducendo, e ricordando che , se ne deduce infine:

(4).

Le (3), (4) dànno:

(5)

che costituisce la formola fondamentale per il cambiamento di variabili negli integrali doppi. La si confronti con la formola

dell'integrazione per sostituzione per gli integrali di una sola variabile, dove con si indichino due variabili, di cui una funzione dell'altra, e con segmenti corrispondenti sulle rette delle due variabili. L'analogia risulta evidente; alla di quest'ultima formola corrisponde nella formola sopra scritta lo Jacobiano ; il quale viene preso in valore assoluto, perchè le aree si considerano sempre positive, mentre il segmento può essere anche il segno opposto a . Se ponessimo , il nostro Jacobiano si riduce a e si ritorna così alla formola del § 108. (Cfr. l'oss. a pag. 353).