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complementi varii

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cioè identicamente la (2), che si può scrivere esplicitamente (§ 83) così:

${\frac {\partial f(x,y,y')}{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y'}}-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial y'}}y'-{\frac {\partial ^{2}f}{\partial {y'}^{2}}}y''=0\,\,\,$(2)_bis

ed è quindi un'equazione differenziale del secondo ordine per la funzione cercata $y$ della $x$. L'integrale della 82) o (2)_bis conterrà due costanti arbitrarie, che si possono di solito determinare imponendo a tale integrale le condizioni di assumere i valori prefissati per $x=a$, o per $x=b$.

Non ci occuperemo delle ulteriori condizioni a cui deve soddisfare la funzione cercata, affinchè renda effettivamente minimo il nostro integrale.

$\beta$) Talvolta ci si propone di cercare la funzione $y$, che rende massimo o minimo l'integrale $\int _{a}^{b}\,\Phi (x,y,y')\,dx$, tra le funzioni $y$ che assumono valori prefissati per $x=a$, e per $x=b$, e che soddisfano a un'equazione $\int _{a}\,\varphi (x,y,y')dx=k$, dove $k$ è una costante prefissata a priori. Noi ci accontenteremo di enunciare che per tali problemi continui a valere il metodo del moltiplicatore indicato al § 85, $\delta$, pag. 289. Che cioè si trova una condizione necessaria, a cui deve soddisfare la funzione $y$ cercata nel modo seguente. Si indichi con $\lambda$ una costante per ora indeterminata: e, posto $f(x,y,y')=\Phi +\lambda \,varphi$, si scriva la (2), come se si volesse cercare la funzione $y$ che rende minimo $\int _{a}^{b}f(x,y,y')dx$. L'integrale della (2) conterrà due costanti arbitrarie di integrazione, oltre alla costante $\lambda$. QUeste tre costanti si determinano di solito ricordando che la $y$ per $x=a$ o per $x=b$ deve asumere i valori prefissati, e che essere $\int _{a}^{b}\varphi (x,y,y')dx=k$.

Esempi.

1° la teoria delle serie di Fourier si può interpretare fisicamente nel seguente modo. Se $x$ indica il tempo,, la $y=f(x)$, che ammette il periodo $2\pi$, può servire a misurare qualche fenomeno periodico (vibrazione di un punto, di una corda, vibrazione luminosa, ecc.). Una equazione $y=a_{n}\,{\text{cos}}\,nx+b_{n}\,{\text{sen}}\,nx$ ($n$ intero positivo, $a_{m},b_{n}$ costanti) si ritiene, come è noto dalla