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complementi varii

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Dico che l'integrale $\mathrm {\int _{a}^{b}f(x)dx}$ è proporzionale al numero di giri, contato dal contagiri, compiuti dalla rotellina $\mathrm {R}$, mentre la punta $\mathrm {C}$ percorre il pezzo di curva $\mathrm {y=f(x)}$ che si proietta nel segmento $\mathrm {(a,b)}$.

Il coefficiente di proporzionalità varierà poi secondo le dimensioni dell'apparecchio e le unità di misura scelte. Dimostreremo il teorema, usando senz'altro locuzioni abbreviate.

Osserviamo anzitutto che, mentre il disco si innalza o si abbassa parallelamente all'asse delle $y$, la rotella non gira.

Affinchè la rotella $R$ giri bisogna che:

1° Il filo $OC$ si svolga dall'asse $O$ e faccia rotare il disco $D$.

2° La rotella non si trovi sul centro $O$ del disco, ma sia eccentrica.

Ed è anzi be evidente che l'angolo di cui gira la rotella è proporzionale a due quantità:

$\alpha$) l'allungamento dei fili $OC$; $\beta$) la distanza $OR$ da $R$ al centro $O$ del disco $D$.

Dividiamo ora l'intervallo $(a,b)$ in infiniti segmenti infinitesimi; e sia $\delta$ uno di questi intervallini. In esso la $y$ si può considerare come costante (cfr. § 99); e mentre $C$ percorre il tratto $CD$ di curva corrispondente, la distanza $OR$ sarà appunto uguale alla $y$ di un punto di questo pezzo di curva.

L'allungamento del filo sarà uguale alla lunghezza $dx$ della proiezione $\delta$ del nostro pezzo di curva sull'asse della $x$; e quindi, per quant dicemmo, l'angolo di cui gira la rotella $R$ (mentre $C$ percorre il tratto $CD$ di curva che siproietta in $\delta$) è proporzionale tanta ala $y$ che a $dx$, e perciò, a meno di un fattore costante $h$, che dipende dalle dimensioni dell'apparecchio $ydx$¹. Il numero dei giri compiuto da $R$, mentre l'estremintà $C$ del filo descrive tutto il pezzo di curva $y=f(x)$ che si proietta nell'intervallo $(a,b)$, è proporzionale alla somma degli angoli di cui $R$ ruota nei singoli intervallini parziali $\delta$. tale numero di giri è dnque proporzionale a

                                                  $\int _{a}^{b}f(x)dx$,                                        c. d. d.

1. In modo preciso esso è compreso tra i prodotti di $hdx$ per il massimo o il minimo di $y$ in $\delta$. L'allievo completi questa dimostrazione senza sussidio di locuzioni abbreviate.