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i numeri complessi

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Per esempio, i valori di ${\sqrt[{3}]{1}}$ sono:

1,	$\varepsilon =\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$,
	$\eta =\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\operatorname {sen} {\frac {4\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

È evidente che $\eta$ è immaginario coniugato di $\varepsilon$ e che

${\frac {1}{\eta ^{2}}}=\eta =\varepsilon ^{2}={\frac {1}{\varepsilon }}$.

E si può anche provare geometricamente che il punto di ascissa $x=1$ e ordinata $y=0$, il punto $x=-{\frac {1}{2}}$, $y={\frac {\sqrt {3}}{2}}$ e il punto $x=-{\frac {1}{2}}$ ed $y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ sono i tre vertici di un triangolo equilatero inscritto nel cerchio col centro nell’origine e raggio 1.

Negli esercizi calcoleremo per via puramente algebrica le $\varepsilon$ per i casi $n=3,4,5$ (esercizio 33 a pagina 61).

Osservazione. È appena necessario ricordare che da tutto questo si deduce in particolare che, nel campo dei numeri complessi, si può estrarre la radice quadrata anche da un numero negativo $n=-|n|$ e che tale radice quadrata ha i valori $\pm i{\sqrt {|n|}}$.

Non ci occuperemo per ora delle potenze il cui esponente è un numero complesso, nè della estensione della teoria dei logaritmi ai numeri negativi o complessi.

§ 10. — Equazioni di 2°, 3° e 4° grado.

Le formole (equivalenti) ben note

$x=-{\frac {p}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

che dànno le radici di un’equazione di secondo grado

$x^{2}+px+q=0$	$ax^{2}+bx+c=0$
	$(a\not =0)$

acquistano significato generale (anche se ${\frac {p^{2}}{4}}-q$ o $b^{2}-4ac$