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capitolo iii - § 10

sono negativi) nel campo dei numeri complessi. Se $x_{1}$, $x_{2}$ sono tali radici è noto che valgono le identità:

$x^{2}+px+q=(x-x_{1})(x-x_{2})$	$ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
$x_{1}+x_{2}=-p$	$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$
$x_{1}x_{2}=q$	$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$

La teoria dei numeri complessi permette di risolvere in generale anche le equazioni di terzo e quarto grado. Noi, come esempio e più che altro a titolo di utile esercitazione, ci occuperemo qui delle equazioni di terzo grado, riassumendo nel modo più rapido uno dei metodi di risoluzione delle equazioni di quarto grado.

Sia data l’equazione di terzo grado

$x_{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$.

Posto $x=y-{\frac {a_{1}}{3}}$, l’equazione si trasforma in un’equazione del tipo:

$y^{3}+py+q=0$;

la quale, posto $y=u+v$, diventa

$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$,

cosicchè, se poniamo inoltre $uv=-{\frac {p}{3}}$¹, la nostra equazione si riduce alla

$u^{3}+v^{3}=-q$.

Ma è pure $u^{3}v^{3}=-{\frac {p^{3}}{27}}$; e quindi $u^{3}$, $v^{3}$ sono le radici dell’equazione:

$z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}=0$

ossia:

$u^{3}=-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$,

$v^{3}=-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$.

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1. Ciò è lecito; perchè dei numeri $u$, $v$ è finora soltanto prefissata la somma $y$; e quindi si può anche scegliere ad arbitrio il valore del prodotto $uv$.