Ora dalla
cos
θ
=
cos
(
θ
3
+
θ
3
+
θ
3
)
{\displaystyle \cos \theta =\cos {\left({\frac {\theta }{3}}+{\frac {\theta }{3}}+{\frac {\theta }{3}}\right)}}
si deduce:
cos
θ
=
4
cos
3
θ
3
−
3
cos
θ
3
{\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}}
.
Mutando
θ
{\displaystyle \theta }
in
θ
+
2
k
π
{\displaystyle \theta +2k\pi }
(dove
k
{\displaystyle k}
è un intero), si trova:
4
cos
3
θ
+
2
k
π
3
−
3
cos
θ
+
2
k
π
3
−
cos
θ
=
0
{\displaystyle 4\cos ^{3}{\frac {\theta +2k\pi }{3}}-3\cos {\frac {\theta +2k\pi }{3}}-\cos \theta =0}
che si riduce alla precedente equazione quando si ponga:
z
=
cos
θ
+
2
k
π
3
{\displaystyle z=\cos {\frac {\theta +2k\pi }{3}}}
;
cos
θ
=
3
3
q
2
p
−
p
=
−
3
3
q
2
|
p
|
|
p
|
=
−
q
2
ρ
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {3{\sqrt {3}}q}{2p{\sqrt {-p}}}}=-{\frac {3{\sqrt {3}}q}{2|p|{\sqrt {|p|}}}}=-{\frac {q}{2\rho }}}
.
È facile riconoscere che, se
x
1
{\displaystyle x_{1}}
,
x
2
{\displaystyle x_{2}}
,
x
3
{\displaystyle x_{3}}
sono le tre radici della nostra equazione, valgono le identità:
x
3
+
{\displaystyle x^{3}+}
a
1
x
2
+
a
2
x
+
a
3
=
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
{\displaystyle a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}
a
1
=
−
(
x
1
+
x
2
+
x
3
)
{\displaystyle a_{1}=-(x_{1}+x_{2}+x_{3})}
a
2
=
x
1
x
2
+
x
2
x
3
+
x
3
x
1
{\displaystyle a_{2}=x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}}
a
3
=
−
x
1
x
2
x
3
{\displaystyle a_{3}=-x_{1}x_{2}x_{3}}
,
formole che sono affatto analoghe a quelle testè ricordate relative alle equazioni di secondo grado (Confronta anche il § 14 ).
Equazioni di quarto grado 1 .
Per risolvere l’equazione di quarto grado
x
4
+
a
1
x
3
+
a
2
x
2
+
a
3
x
+
a
4
=
0
{\displaystyle x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}=0}
si indichino con
c
1
{\displaystyle c_{1}}
,
c
2
{\displaystyle c_{2}}
,
c
3
{\displaystyle c_{3}}
,
c
4
{\displaystyle c_{4}}
, le quattro radici (Confronta il § 14 ), e si ponga:
z
1
=
c
1
c
2
+
c
3
c
4
{\displaystyle z_{1}=c_{1}c_{2}+c_{3}c_{4}}
;
z
2
=
c
1
c
3
+
c
2
c
4
{\displaystyle z_{2}=c_{1}c_{3}+c_{2}c_{4}}
;
z
3
=
c
1
c
4
+
c
2
c
3
{\displaystyle z_{3}=c_{1}c_{4}+c_{2}c_{3}}
.
Sia
z
3
+
α
z
2
+
β
z
+
γ
{\displaystyle z^{3}+\alpha z^{2}+\beta z+\gamma }
l’equazione di terzo grado, che ha le radici
z
1
{\displaystyle z_{1}}
,
z
2
{\displaystyle z_{2}}
,
z
3
{\displaystyle z_{3}}
. I coefficienti di questa equazione non cambiano, come è facile verificare, permutando le
c
{\displaystyle c}
ossia sono funzioni simmetriche delle
c
{\displaystyle c}
, che si possono subito calcolare quando sono date le
α
{\displaystyle \alpha }
(Confronta il seguente § 14 ).
Risolvendo tale equazione di terzo grado, sì troveranno i valori delle
z
{\displaystyle z}
. Poichè
(
c
1
,
c
2
)
(
c
3
c
4
)
=
a
4
{\displaystyle (c_{1},c_{2})(c_{3}c_{4})=a_{4}}
,
c
1
c
2
+
c
3
c
4
=
z
1
{\displaystyle c_{1}c_{2}+c_{3}c_{4}=z_{1}}
, delle
c
1
c
2
{\displaystyle c_{1}c_{2}}
e
c
3
c
4
{\displaystyle c_{3}c_{4}}
si conoscono somma e prodotto, e quindi si possono calcolare, risolvendo un’equazione di secondo grado, sia
c
1
c
2
{\displaystyle c_{1}c_{2}}
, che
c
3
c
4
{\displaystyle c_{3}c_{4}}
. Dalle equazioni (Confronta il § 14 )
c
1
c
2
(
c
3
+
c
4
)
+
c
3
c
4
(
c
1
+
c
2
)
=
−
a
3
{\displaystyle c_{1}c_{2}(c_{3}+c_{4})+c_{3}c_{4}(c_{1}+c_{2})=-a_{3}}
(
c
3
+
c
4
)
+
(
c
1
+
c
2
)
=
−
a
1
{\displaystyle (c_{3}+c_{4})+(c_{1}+c_{2})=-a_{1}}
si possono poi generalmente ricavare
c
3
+
c
4
{\displaystyle c_{3}+c_{4}}
e
c
1
+
c
2
{\displaystyle c_{1}+c_{2}}
. Delle
c
1
{\displaystyle c_{1}}
,
c
2
{\displaystyle c_{2}}
, (come anche delle
c
3
{\displaystyle c_{3}}
c
4
{\displaystyle c_{4}}
) si conosceranno così somma e prodotto; e pertanto si possono dedurre i valori di tutte le
c
{\displaystyle c}
.
↑ Le righe seguenti si potranno studiare soltanto dopo letto il § 14 a pagina 48 e seguenti; lo studio delle equazioni di 4° grado trova però ben scarse applicazioni.