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54 capitolo iv — § 17

delle radici di soddisfa alla ), il cui annullarsi è condizione necessaria e sufficiente affinchè le due equazioni abbiano almeno una radice comune, si dice il risultante delle due equazioni: esso è un polinomio formato coi coefficienti e delle due equazioni.

Sistemi di due equazioni algebriche intere a due incognite.

Uguagliando a zero un polinomio in più variabili sia ha un’equazione algebrica a più incognite, ed i gruppi dei valori delle incognite, che soddisfano l’equazione, sono le soluzioni di essa. Date due equazioni algebriche in due incognite consideriamo il loro sistema, e cerchiamo le loro soluzioni comuni.

Siano:

,

le due equazioni; la prima di grado n, la seconda di grado m nella . Ordinate secondo le potenze decrescenti di , esse prendono la forma

dove e sono polinomii nella

Se una coppia di valori ed , per esempio, , soddisfa entrambe le equazioni, allora, immaginando in esse posto , si hanno due equazioni nella sola , che avranno per radice comune il valore ; cosicchè per sarà nullo il risultante di questa due equazioni in . Si noti che, per calcolare , nelle due date equazioni si considera come incognita la sola ; cosicchè questo loro risultante sarà un polinomio nella sola , perchè dipenderà solo dalle , coefficienti delle due equazioni.

Se soddisfano le equazioni, la ammette come radice. Viceversa ogni valore di che annulli , sostituito nelle due equazioni date, le riduce a due equazioni in aventi almeno una radice a comune, che si calcola servendosi dell’algoritmo del M. C. D. Si trovano così tutte le coppie di valori di ed soddisfacenti alle due date equazioni.

L’equazione dicesi l’equazione risultante dalla eliminazione di dalle due date equazioni. In generale, però, per calcolare , o per risolvere il dato sistema di equazioni, è opportuno ricorrere ad artifici che variano da caso a caso, e che solo la pratica può suggerire.