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POLINOMII ED EQUAZIONI ALGEBRICHE 57

11° Dimostrare che i numeri contenuti nelle orizzontali del quadro

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

sono ordinatamente i coefficienti dello sviluppo di (x + a)0, (x + a)1, (x + a)2, (x + a)3, ecc. Si noti che il termine di posto h della riga di posto k si ottiene sommando i termini di posto h ed h — 1 della riga precedente (1 < h< k).

12° Calcolare il numero delle combinazioni con ripetizione (in cui cioè uno stesso elemento può essere ripetuto una o più volte) di n elementi ad h ad h?

Ris. Quelle di tali combinazioni che non contengono il primo degli n elementi dati sono (se n> 1) in numero di Ùîl} Quelle che lo contengono sono in numero di l], quando sia posto : 1. Dunque si ha r: F7," l] + [hîl]. Queste proprietà, insieme alle = 1, = n ‘bastano a definire Dunque = " +2" l), perché (n 1127-1) gode (esercizio 6°) di tutte queste proprietà. r 13° Dalla (cos 6 + 2' sen 6)" 1: cos n 6 + 2' sen n 6 si de" ducano, sviluppando il primo membro con la formola del binomio, i valori di cos n 6 e sen n 6.

Ris.

cos n 6 r: cos" 6 — cos"’2 6 senz 6 +r(î) cos"‘4 6 sen* 6 —

sen n6 = sen6 l (îflcoswl 6— (g)cos”'36sen26 cos""56sen46— che si possono scrivere anche in altro modo ricordando che senz 6 == 1 -— — c052 6; sen‘ 6 = (1 — cos? 6)2, ecc. 14° In modo simile dalla. (cos a1 + i sen al) (cosg +'i sen a2) (cos a” +i sen a") = = cos[a1 + a2 + un] +isen[a1 + a2 + ..; + un]