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66 capitolo v — § 19

ottenuta dalla precedente sopprimendo ; e è il posto di nella successione ottenuta sopprimendo invece .

Il posto di un elemento non varia se si sopprime un elemento che lo segue, mentre invece diminuisce di uno, se si cancella un elemento che lo precede; perciò:

se
se .

In ogni caso ed differiscono di una unità; cosicchè, se uno di essi è pari, l’altro è dispari; cioè:

.

Analogamente, se in una matrice si cancella una linea di indice , allora le linee parallele che precedono la linea cancellata (di indice () conservano nella nuova matrice l’indice : le linee parallele, che seguivano la linea cancellata, che cioè avevano un indice , avranno nella nuova matrice l’indice (appunto perchè la linea precedente è stata cancellata). Anche nel caso delle linee di una matrice si possono pertanto applicare le precedenti considerazioni.


Sia dato un determinante ; sia un suo elemento posto sulla riga e sulla colonna; esso è di posto pari o dispari secondo che è pari o dispari [nel primo caso , nel secondo ].

Il complemento algebrico di è il minore ottenuto cancellando riga e colonna incrociatisi in e preceduto dal segno .

Un elemento di , che appartiene a una riga e una colonna distinte da quelle passanti per , appartiene anche al minore . Se è pari, cioè coincide con A, il complemento algebrico di b nel minore si dirà il complemento algebrico di b nel complemento algebrico di A di a (nel determinante iniziale). Se invece è dispari, cioè , allora il complemento algebrico di b in , cambiato di segno, si chiamerà il complemento algebrico di b nel complemento algebrico A di a. Cioè il complemento algebrico di nel complemento algebrico di vale il complemento di nel minore ottenuto sopprimendo riga e colonna incrociantisi in , cambiato o non di segno secondo che coincide con o con , [cioè secondo che ha posto pari o dispari in , cioè secondo che vale oppure ].