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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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Siano $\rho ,\delta$ i numeri d’ordine della riga e colonna che $b$ ha in $D$; siano $\rho ',\delta '$ i numeri d’ordine della riga e colonna che $b$ ha in $\mu$ (che si è ottenuto da $D$ cancellando la riga $r^{esima}$ e colonna $s^{esima}$). Il complemento algebrico di $b$ in $\mu$ vale il minore $M$ ottenuto cancellando da $\mu$ la riga e colonna incrociantisi in $b$, preceduto dal segno $+$ o $-$ secondo che $\rho '+\delta '$ è pari o dispari, cioè preceduto dal segno di $(-1)^{\rho +\delta }$.

Quindi il complemento di $b$ in $A$, vale $M$ preceduto dal segno del prodotto $(-1)^{r+s}(-1)^{\rho '+\delta '}$, cioè dal segno di $(-1)^{(r+\rho ')+(s+\delta ')}$.

Ora $M$ non è che il minore ottenuto da $D$ sopprimendo entrambe le righe ed entrambe le colonne che si incrociano in $a$ ed in $b$.

Così pure, se $r'$ ed $s'$ sono i numeri d’ordine della riga e colonna, a cui appartiene $a$ nel minore ottenuto da $D$ sopprimendo le righe e le colonne che si incrociano in $b$, il complemento di $a$ nel complemento di $b$ vale

$(-1)^{r'+s'+\rho +\delta }M$,

dove $M$ è ancora il minore ottenuto sopprimendo in $D$ le righe e colonne che si incrociavano in $a$ e in $b$.

Ora per l’osservazione precedente

$(-1)^{r+\rho '}=-(-1)^{r'+\rho }$.

Analogamente è

$(-1)^{s+\delta '}=-(-1)^{s'+\delta }$.

Moltiplicando, se ne deduce:

$(-1)^{r+s+\rho '+\delta '}=(-1)^{r'+s'+\rho +\delta }$.

Perciò:

Teorema II. Se a, b sono due elementi di un determinante appartenenti a righe e colonne distinte, il complemento algebrico di a nel complemento algebrico di b è uguale al complemento algebrico di b nel complemento algebrico di a.

Definizione Si dice valore di un determinante la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi di una linea qualsiasi per i loro complementi algebrici¹.

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1. Applicando questa definizione a un determinante di ordine 2, si ritorna al valore sopra definito di un tale determinante.
   Se invece moltiplichiamo gli elementi di una linea per i loro complementi algebrici cambiati di segno, e poi sommiamo, troviamo il valore del determinante cambiato di segno.