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capitolo v — § 19

Così per esempio, nel caso precedente tale valore sarebbe:

$a_{1}A_{1}+b_{1}B_{1}+c_{1}C_{1}$ , oppure $a_{2}A_{2}+b_{2}B_{2}+c_{2}C_{2}$ , oppure $a_{1}A_{1}+a_{2}A_{2}+a_{3}A_{3}$ , eccetera.

Perchè tale definizione non sia contraddittoria in termini bisogna dimostrare che, da qualunque linea si parta, si giunge sempre allo stesso valore (che, per esempio, per il determinante (1) è di $a_{1}A_{1}+b_{1}B_{1}+c_{1}C_{1}=$ $a_{1}A_{1}+a_{2}A_{2}+a_{3}A_{3}=$ $c_{1}C_{1}+c_{2}C_{2}+c_{3}C_{3}=$ eccetera ...).

Poichè il teorema si verifica tosto per i determinanti del 2° ordine noi potremo dimostrarlo col metodo di induzione completa provando che, ammesso il teorema per i determinanti di ordine $n-1$ , e quindi anche per i complementi algebrici¹ degli elementi di un determinante di ordine n, esso si dimostra valido anche per i determinanti di ordine $n$ . E così noi faremo. Per provare che, partendo da una linea qualunque, si giunge sempre allo stesso risultato, basterà provare che, partendo da una riga qualsiasi (per esempio la $r^{esima}$ ) si giunge allo stesso risultato, come partendo da una colonna qualsiasi (per esempio la $s^{esima}$ ). E, poichè il teorema è stato ammesso per i determinanti di ordine $n-1$ , noi, per calcolare i complementi di un elemento qualsiasi, potremo calcolarli partendo da una loro linea qualsiasi.

Se noi sviluppiamo, come abbiamo detto, il determinante iniziale prima secondo gli elementi della riga $r$ , poi secondo gli elementi della colonna $s$ , troviamo sue somme $S,S'$ di $n$ prodotti (di un elemento per il suo complemento) che hanno un addendo comune: il prodotto dell’elemento $c$ in cui si incrociamo la riga $r$ e la colonna $s$ per il suo complemento $C$ . Basterà provare che i risultati $R,R'$ ottenuti sopprimendo dalle due somma $S,S'$ questo addendo comune, risultano uguali. Ogni addendo di $R$ è il prodotto di un elemento $a$ della riga $r$ per il suo complemento $A$ ; questo complemento si può, come abbiamo detto, calcolare partendo da una sua linea qualsiasi, per esempio da quella sua colonna, che in $D$ aveva il posto $s$ ; esso è uguale perciò alla somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ogni elemento $b$ di questa sua colonna per il suo complemento di tale elemento $b$ in $A$ . Quindi $R$ si ottiene così: Si moltiplichi ogni elemento a della $\mathrm {r^{esima}}$ riga per ogni elemento b della $\mathrm {s^{esima}}$ colonna (distinti

↑ Ciò è evidente se si tratta del complemento di un elemento posto pari (il quale complemento è precisamente un determinante di ordine $n-1$ ). Se invece si tratta di un elemento di posto dispari, tale complemento è un determinante di ordine $n-1$ cambiato di segno; ma tale cambiamento di segno si ha, per definizione, anche nei complementi algebrici dei suoi elementi.

[1] Ciò è evidente se si tratta del complemento di un elemento posto pari (il quale complemento è precisamente un determinante di ordine $n-1$ ). Se invece si tratta di un elemento di posto dispari, tale complemento è un determinante di ordine $n-1$ cambiato di segno; ma tale cambiamento di segno si ha, per definizione, anche nei complementi algebrici dei suoi elementi.

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