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capitolo v — § 21-22

Così per esempio, nel determinante

$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}$

la somma di tutti i termini del suo sviluppo, i quali contengono per fattori due elementi del minore $\Delta ={\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}}$, uguaglia $(-1)^{c}\Delta \Delta '$, dove $c_{2}+3+2+4=11$ (perchè gli indici delle colonne di $\Delta$ sono 2 e 3 e quelli delle righe sono 2 e 4) e dove $\Delta '$ è il ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{14}\\a_{31}&a_{34}\end{vmatrix}}$ ottenuto da \math>\Delta'</math> sopprimendovi le righe e le colonne che contribuiscono a formare $\Delta$. Si ha poi che $(-1)^{c}\Delta '$ e $(-1)^{c}\Delta$ sono rispettivamente i complementi algebrici di $\Delta$ e di $\Delta '$. Se ne deduce che:

Scelte h linee parallele di D, la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando i minori di ordine h di D, formati con queste h righe, per i minori complementari, uguaglia D.

Basta ricordare che ogni termine $D$ è prodotto di $n$ elementi, $h$ dei quali appartengono alle $h$ linee considerate, ed anzi ad uno solo dei minori di ordine $h$ formati con queste $h$ linee.

Così, per esempio:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{23}&a_{24}\\a_{43}&a_{44}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{24}\\a_{42}&a_{44}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{14}\\a_{31}&a_{34}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{42}&a_{43}\end{vmatrix}}$

$-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{24}\\a_{41}&a_{44}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{14}\\a_{32}&a_{34}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{41}&a_{43}\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a_{13}&a_{14}\\a_{33}&a_{34}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{41}&a_{42}\end{vmatrix}}$.

§ 22. — Prodotto di due determinanti.

Siano dati due determinanti

$A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\dots &\dots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}},\,\,B={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{vmatrix}}$

di ordine n. Io dico che il loro prodotto è uguale al determinante C di ordine n,

$C={\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{nn}\end{vmatrix}}$

ove$\mathrm {c} _{rs}=\mathrm {a} _{r1}\mathrm {b} _{s1}+\mathrm {a} _{r2}\mathrm {b} _{s2}+\cdots +\mathrm {a} _{rn}\mathrm {b} _{sn}$.