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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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minante $D$ resta scritto nella forma

${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\0&\alpha _{2}-\alpha _{1}&\alpha _{3}-\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}-\alpha _{1}\\0&\alpha _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\alpha _{3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\alpha _{2}^{n-3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\alpha _{3}^{n-3}(\alpha _{3}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{n}^{n-3}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\0&\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\alpha _{3}^{n-2}(\alpha _{3}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}^{n-2}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}\alpha _{2}-\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}-\alpha _{1}\\\alpha _{3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2}^{n-3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}^{n-3}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}^{n-3}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\end{vmatrix}}=$

$=(\alpha _{2}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{1})\ldots (\alpha _{n}-\alpha _{1}){\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\alpha _{2}&\alpha _{3}&\cdots &\alpha _{n}\\\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2}^{n-3}&\alpha _{3}^{n-3}&\cdots &\alpha _{n}^{n-3}\\\alpha _{2}^{n-2}&\alpha _{3}^{n-2}&\cdots &\alpha _{n}^{n-2}\end{vmatrix}}.$

Ora, se $n=2$, si trova che $D=\alpha _{2}-\alpha _{1}$; servendosi della precedente identità, che riduce il calcolo di un determinante di Vandermonde di ordine $n$ al calcolo di un determinante analogo di ordine $n-1$, si trova che:

Se $n=3$, $D=(\alpha _{2}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{2})$.

Se $n=4$, $D=(\alpha _{2}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{1})(\alpha _{4}-\alpha _{1})\cdot$

$\cdot (\alpha _{3}-\alpha _{2})(\alpha _{4}-\alpha _{2})(\alpha _{4}-\alpha _{3})$.

Per $n$ qualsiasi $D$ è uguale al prodotto delle ${\frac {1}{2}}n(n-1)$ differenze delle quantità $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$ a due a due, in cui l'indice del minuendo superi l'indice del sottraendo.

$\alpha )$ Se noi innalziamo al quadrato il determinante di Vandermonde troviamo

$D^{2}=\Delta ={\begin{vmatrix}n&s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{n-1}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}&\cdots &s_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\s_{n-1}&s_{n}&s_{n+1}&\cdots &s_{2n-2}\end{vmatrix}}$.

dove con $s_{h}$ ho indicato la somma delle $h^{esime}$ potenze delle $\alpha$ (per $h=1,2,\ldots ,2n-2)$.

Questo determinante $\Delta$ si chiama il discriminante degli $n$ numeri dati; esso è nullo soltanto se almeno due di questi numeri sono uguali tra di loro. Se le $\alpha$ sono le radici di una data equazione algebrica, le formole del § 14 $\gamma$, pagina 50, permettono di calcolare tale discriminante senza risolvere l’equazione, perchè le $s_{h}$ si possono cal-