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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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tutte le altre colonne moltiplicate ordinatamente per $a_{12},a_{13},\cdots a_{1n}$ (il che non altera il valore del determinante); per le stesse formole del teor. cit, avremo

$a_{11}A'={\begin{vmatrix}A&A_{12}&A_{13}&\cdots &A_{1n}\\0&A_{22}&A_{23}&\cdots &A_{2n}\\0&A_{32}&A_{33}&\cdots &A_{3n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&A_{n2}&A_{n3}&\cdots &A-{nn}\end{vmatrix}}=0$

poichè la prima colonna è tutta costituita di termini nulli, essendo $A=0$.

Dividendo per $a_{11}(\not =0)$, otteniamo appunto $A'=0$.

§ 24. — Sistemi di equazioni lineari. Teorema preliminare.

Per un sistema di $m$ equazioni di primo grado (o, come anche si dice, lineari) ad $n$ incognite $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ s’intende naturalmente un sistema di $m$ equazioni, ciascuna delle quali sia della forma:

$\alpha x_{1}+\beta x_{2}+\gamma x_{3}+\ldots +\lambda x_{n}=p$,

dove le $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\lambda ,p$ sono numeri costanti dati ($\alpha ,\beta ,\ldots ,\lambda$ coefficienti dell’equazione; $p$ termine noto).

Il problema della risoluzione di queste equazioni consiste dunque nel cercare tutti gli speciali sistemi di valori da darsi alle $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, in modo che le $m$ equazioni ne restino tutte soddisfatte simultaneamente.

Indicando in generale con $a_{ij}$ il coefficiente della incognita $x_{j}$ nella $i^{ma}$ equazione e con $\alpha _{i}$ il termine noto, che sta al secondo membro di questa equazione, è chiaro che il sistema nelle $m$ equazioni date fra le $n$ incognite assumerà la forma seguente:

[1]

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1,n-1}x_{n-1}+a_{1n}x_{n}=\alpha _{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2,n-1}x_{n-1}+a_{2n}x_{n}=\alpha _{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}+x_{2}+\cdots +a_{m,n-1}x_{n-1}+a_{m,n}x_{n}=\alpha _{m}\end{cases}}$

Due tali sistemi di equazioni lineari nelle stesse $n$ incognite si dicono equivalenti se ogni sistema di valori delle $x$, che soddisfa all’uno, soddisfa anche all’altro, e viceversa.

Due sistemi equivalenti a [1] sono equivalenti tra di loro. È poi noto ed evidente:

Un sistema [1] è equivalente ad un altro sistema che si deduce da [1] moltiplicando una delle date equazioni per un numero differente da zero e lasciando invariate le altre equazioni.

6 — G. Fubini, Analisi matematica.