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appendice

[§ 48-49]

e in virtù delle equazioni (88)

(89)	${\frac {\partial ^{2}\Phi _{1}}{\partial t^{2}}}=\varphi _{xx}\alpha _{1}^{2}+\varphi _{yy}\beta _{1}^{2}+\cdots$
	$+2\varphi _{xy}\alpha _{1}\beta _{1}+\cdots$

Supponiamo che quella quantità sia sempre negativa. In tal caso δΦ₁ andrà sempre scemando mentre cresce t, cioè mentre si passa dalla posizione I alla posizione II. Abbiamo visto al § 45, che, nella posizione di equilibrio I, i δΦ debbono essere parte positivi, parte negativi; seguitando ad allontanarsi dalla posizione di equilibrio, e sostituendo quindi variazioni finite alle variazioni infinitesime, tutti quei δΦ scemeranno. Perciò, nella posizione II, i δΦ potranno essere ancora parte positivi e parte negativi, oppure tutti negativi, ma non potranno essere tutti positivi. Dunque dalla posizione di equilibrio I non ci possiamo allontanare con vantaggio di tutti i componenti la collettività; ma parte di essi, o tutti, saranno necessariamente danneggiati.

49. Rimangono da vedere le condizioni che fanno negativa l’espressione (89). Come è ben noto, esse si ottengono formando gli Hessiani successivi, e ponendo

(90)

$\varphi _{xx}<0,\;\;{\begin{vmatrix}\varphi _{xx}&\varphi _{xy}\\\varphi _{xy}&\varphi _{yy}\end{vmatrix}}>0,\;\;{\begin{vmatrix}\varphi _{xx}&\varphi _{xy}&\varphi _{xz}\\\varphi _{xy}&\varphi _{yy}&\varphi _{yz}\\\varphi _{xz}&\varphi _{yz}&\varphi _{zz}\end{vmatrix}}<0$, ...

Nel caso in cui le ofelimità delle merci sono in-