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Matematica in relax 137


32. Una moneta equa, una no

Per ottenere una distribuzione di probabilità equa con due monete apparentemente identiche, una delle quali non sia equa, occorre lanciarle entrambe una sola volta.

Indicando con T e C il risultato del lancio della moneta non equa, e con t e c quello della moneta equa, visto che P(t) = P(c) abbiamo

P(T, t) = P(T, c);
P(C, t) = P(C, c).

È vero che non sappiamo quale sia la moneta equa, ma non importa. Se infatti stabiliamo che pagherà il presidente se le monete mostrano la stessa faccia, e il segretario se mostrano una faccia diversa, è immediato capire che le due probabilità sono le stesse; P(T, t) + P(C, c) = P(T, c) + P(C, t); e non abbiamo bisogno di distinguere le due monete (né quale sia la probabilità che esca testa quando la moneta truccata viene lanciata).

Post Scriptum

Questo problema è interessante. A prima vista si può forse accettare che non serva sapere con quale probabilità la moneta truccata segni testa; ma si direbbe impossibile riuscire a scoprire quale sia la moneta non equa...

In effetti non lo si può stabilire; ma per fortuna quell’informazione non è necessaria. Ci basta sfruttare l’invarianza dei risultati dell’altra moneta, cioè il fatto che la probabilità che esca testa oppure croce è la stessa; possiamo allora scegliere il risultato che più ci fa comodo per semplificare i conti.

Per una volta la tipica ipotesi dei problemi probabilistici, che sostiene che se non si possono distinguere i vari casi si deve dare loro la stessa probabilità, viene messa in pratica a un metalivello!

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