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Matematica in relax 185


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88. Basta essere d’accordo!

Sì, i prigionieri possono salvarsi. È sufficiente che si mettano d’accordo su un’affermazione di tipo vero/falso; per esempio “il numero di cappelli bianchi che ci metteranno sarà dispari”. Ogni prigioniero guarda i cappelli degli altri, e deduce quale sarebbe il colore del suo cappello se l’affermazione fosse vera. Se in effetti lo era, tutti risponderanno correttamente; altrimenti tutti sbaglieranno la risposta.

Post Scriptum

È troppo complicato da spiegare in questa sede, ma i prigionieri potrebbero salvarsi persino se fossero in numero infinito... sempre che l’assioma della scelta sia vero. L’assioma della scelta è un enunciato matematico legato agli insiemi infiniti che intuitivamente sembra corretto, viene spesso considerato vero, ma porta a una serie di paradossi come quello di Banach−Tarski (presa una sfera, la si può dividere in cinque parti che possono essere riassemblate per ottenere due sfere identiche alla prima). Non sempre la matematica dà sicurezze, insomma.

Ah, comunque ci sarebbe una risposta che vale sia nel caso finito che in quello infinito: tutti i prigionieri dicono “il mio cappello è verde”!

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98. Righe e colonne

Dopo il primo ordinamento dei soldati, prendete un elemento qualsiasi nella riga r e nella colonna c: con scarsa fantasia, lo chiameremo S. Per definizione, tutti i soldati nella riga r e nelle colonne a destra di c saranno più alti di lui.

Supponiamo ora che al di sopra di S ci sia un soldato P più alto di un altro soldato T che si trova a destra di S, come raffigurato schematicamente nel disegno. Ma allora il soldato Q che