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| Matematica in relax | 193 |
Attenzione però a non fidarvi ciecamente del potere dei cicli! Se infatti si può arrivare a uno stato da diversi stati, tutto quanto scritto sopra non vale più. Prendete ad esempio l’algoritmo che associa a ogni numero la somma dei quadrati delle sue cifre: è chiaro che 25 e 52 portano entrambi a 29, quindi non possono fare entrambi parte di un ciclo. Inoltre, anche se vale la regola “si arriva a ciascuno stato solo in un modo”, non è affatto detto che il ciclo raggiunga tutti gli stati. Come abbiamo visto, anche nel nostro problema gli stati dove tutte le lampadine sono spente non fanno parte del nostro ciclo principale, e fanno un ciclo (molto breve... continuiamo a girare senza far nulla) per conto loro.
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99. Camaleonti
No, è impossibile. Visto che il numero totale di camaleonti presenti è un multiplo di 3, se si arrivasse ad averli tutti di un colore significa che tutte le differenze tra il numero di quelli di un colore e di quelli di un altro sono multipli di 3. Nel nostro caso, all’inizio nessuna di queste differenze lo è. Ogni volta che due camaleonti di colore diverso, diciamo rosso e giallo per fissarci le idee, si incontrano, che succede? Semplice. La differenza tra rosso e giallo rimane la stessa, visto che entrambe le popolazioni diminuiscono di un’unità; la differenza tra rosso e verde cambia di 3 unità (1 rosso in meno e 2 verdi in più), quindi se non era un multiplo di 3 continua a non esserlo, e lo stesso per la differenza tra giallo e verde. Lo stesso discorso vale per le altre coppie di colori: non potendo mai raggiungere un multiplo di 3, il problema non è risolvibile.
Post Scriptum
Mentre ci sono moltissimi problemi che sfruttano la parità, quelli che richiedono di guardare i multipli di 3 sono piuttosto rari. Per curiosità, se tutte e tre le differenze fossero multiple di 3, allora i camaleonti potrebbero diventare tutti di uno qualunque dei 3 colori: se c’è una sola differenza multipla di 3, ad esempio tra rosso e giallo, i camaleonti potrebbero diventare tutti del terzo colore.
