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solution de la question 435

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classe (et du quatrième ordre) qui a deux de ses plans tangents passant par chaque droite donnée; ou bien, ce qui est la même chose, le plan de trois points homologues est osculateur d’une cubique gauche qui a deux de ses plans osculateurs passant par chaque droite donnée.

Dans le cas particulier qui constitue la question 435, les divisions homographiques données sont semblables; done les points à l’infini des droites OA, OB, OC sont homologues; par conséquent le plan abc enveloppe une surface développable de la troisième classe (et du quatrième ordre) qui a un plan tangent à l’infini; ou bien le plan abc est osculateur d’une cubique gauche qui a un plan osculateur a l’infini. Les plans OBC, OCA, OAB, ABC, sont osculateurs de la même courbe.

On résout la question avec facilité aussi par le calcul. Posons

OA = a		OB = b		OC = c,
Oa = p		Ob = q		Oc = r,

donc

${\frac {p-a}{\lambda }}={\frac {q-b}{\mu }}={\frac {r-c}{\nu }}=i,$

i étant variable avec p, q, r; λ, μ, ν constantes. Cela montre que p, q, r sont les coordonnées courantes d’une droite fixe rapportée aux axes OA, OB, OC.

Les coordonnées du centre de gravité du triangle abc sont

x = ${\frac {1}{3}}$(a + λi),     y = ${\frac {1}{3}}$(b + μi),     z = ${\frac {1}{3}}$(c + νi);

donc le lieu du centre est la droite

${\frac {3x-a}{\lambda }}={\frac {3y-b}{\mu }}={\frac {3z-c}{\nu }},$

qui est parallèle a la droite fixe menée ci-dessus.

Le plan abc è pour équation

${\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}+{\frac {z}{r}}=1,$

ou bien

${\frac {x}{a+\lambda i}}+{\frac {y}{b+\mu i}}+{\frac {z}{c+\nu i}}=1.$

Si dans cette équation on fait disparaître les dénominateurs, elle devient du troisième degré en i; done le plan abc est osculateur d’une cubique gauche. Pour obtenir les