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solution de la question 435

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classe (et du quatrième ordre) qui a deux de ses plans tangents passant par chaque droite donnée; ou bien, ce qui est la même chose, le plan de trois points homologues est osculateur d’une cubique gauche qui a deux de ses plans osculateurs passant par chaque droite donnée.

Dans le cas particulier qui constitue la question 435, les divisions homographiques données sont semblables; donc les points à l’infini des droites $\mathrm {OA}$, $\mathrm {OB}$, $\mathrm {OC}$ sont homologues; par conséquent le plan $abc$ enveloppe une surface développable de la troisième classe (et du quatrième ordre) qui a un plan tangent à l’infini; ou bien le plan $abc$ est osculateur d’une cubique gauche qui a un plan osculateur a l’infini. Les plans $\mathrm {OBC}$, $\mathrm {OCA}$, $\mathrm {OAB}$, $\mathrm {ABC}$, sont osculateurs de la même courbe.

On résout la question avec facilité aussi par le calcul. Posons

$\mathrm {OA} =a$		$\mathrm {OB} =b$		$\mathrm {OC} =c$,
$\mathrm {O} a=p$		$\mathrm {O} b=q$		$\mathrm {O} c=r$,

donc

${\frac {p-a}{\lambda }}={\frac {q-b}{\mu }}={\frac {r-c}{\nu }}=i,$

$i$ étant variable avec $p$, $q$, $r$; $\lambda$, $\mu$, $\nu$ constantes. Cela montre que $p$, $q$, $r$ sont les coordonnées courantes d’une droite fixe rapportée aux axes $\mathrm {OA}$, $\mathrm {OB}$, $\mathrm {OC}$.

Les coordonnées du centre de gravité du triangle abc sont

$x={\frac {1}{3}}(a+\lambda i),$     $y={\frac {1}{3}}(b+\mu i),$     $z={\frac {1}{3}}(c+\nu i);$

donc le lieu du centre est la droite

${\frac {3x-a}{\lambda }}={\frac {3y-b}{\mu }}={\frac {3z-c}{\nu }},$

qui est parallèle a la droite fixe menée ci-dessus.

Le plan $abc$ è pour équation

${\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}+{\frac {z}{r}}=1,$

ou bien

${\frac {x}{a+\lambda i}}+{\frac {y}{b+\mu i}}+{\frac {z}{c+\nu i}}=1.$

Si dans cette équation on fait disparaître les dénominateurs, elle devient du troisième degré en $i$; donc le plan $abc$ est osculateur d’une cubique gauche. Pour obtenir les