Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/231

intorno ad un’operetta di giovanni ceva.

217

per uno stesso punto. I sei piani che passano rispettivamente per i sei spigoli e dimezzano gli spigoli opposti passano per uno stesso punto.

Da ultimo riporterò un elegante teorema che il signor Chasles ha osservato essere una diversa espressione del teorema di Ceva. Avendosi (fig. 1.ª):

${\frac {\mathrm {AO} }{\mathrm {A'O} }}={\frac {b+c}{a}},$     ${\frac {\mathrm {AC'} }{\mathrm {BC'} }}={\frac {b}{a}},$     ${\frac {\mathrm {AB'} }{\mathrm {CB'} }}={\frac {c}{a}}$

ne segue:

${\frac {\mathrm {AO} }{\mathrm {A'O} }}={\frac {\mathrm {AC'} }{\mathrm {BC'} }}+{\frac {\mathrm {AB'} }{\mathrm {CB'} }}.$

Ora la fig. 1.ª rappresenta un quadrigono AB’OC’ di cui AO è una diagonale e BC è la retta che congiunge i punti di concorso de’ lati opposti. Dunque:

In ogni quadrigono la diagonale che parte da un vertice divisa pel suo prolungamento sino alla retta che congiunge i punti di concorso de’ lati opposti è eguale alla somma de’ lati uscenti dallo stesso vertice divisi rispettivamente pe’ loro prolungamenti sino ai lati opposti.

Importanti conseguenze l’autore ricava anche dagli altri tre elementi. A cagion d’esempio dal quinto elemento emerge il teorema seguente (fig. 6.ª):

Sia ABCDE una piramide a base quadrangolare, il cui vertice sia il punto E. Sugli spigoli AE, BE, CE, DE si fissino ad arbitrio i quattro punti a’’, b’’, c’’, d’’; si tirino leFig 6 Ab’’, Ba’’ segantisi in a; Bc’’, Cb’’ segantisi in b; Cd’’, DC’’ segantisi in c; Da’’, Ad’’ segantisi in d; indi si tirino le Ea, Eb, Ec, Ed che incontrino rispettivamente gli spigoli AB, BC, CD, DA in a’, b’, c’, d’; le a’c’, b’d’ si seghino in O. Allora i punti a’, b’, c’, d’ divideranno i lati del quadrigono ABCD in otto segmenti tali, che il prodotto di quattro non aventi termini comuni sia eguale al prodotto degli altri quattro. Ed inoltre le rette EO, ac’, bd’, ca’, db’ si incroceranno in uno stesso punto.

Dallo stesso quinto elemento risulta (lib. II, prop. 4):

Se in un quadrigono gobbo si conducano due rette ciascuna delle quali divida due lati opposti in parti proporzionali, queste due rette giaceranno necessariamente nello stesso piano.