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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 289 |
doppi delle due divisioni omografiche formate sopra A dai due fasci, i cui assi sono ab ed ac.
Ora si consideri il punto f dato nello spazio, e si domandi la retta B, che parte da questo punto e va ad incontrar due volte la cubica gobba: retta che esiste sempre ed è unica, essendo essa la generatrice comune agli infiniti iperboloidi, che passano pel punto f e per la cubica. Se tale retta si suppone trovata, il fascio B (a, b, c, d, e) riesce omografico al fascio A (a, b, c, d, e). S’immagini dunque il cono di secondo grado passante per le quattro rette f (a, b, c, d) e capace del rapporto anarmonico A (a, b, c, d); ed analogamente, s’immagini il cono avente per generatrici le quattro rette f (a, b, c, e) e capace del rapporto anarmonico A (a, b, c, e). È evidente che la retta richiesta B dee trovarsi sopra entrambi questi coni, essa sarà dunque la loro quarta generatrice comune, dopo le tre f (a, b, c). Questa retta si determina linearmente, senza presupporre effettuata la costruzione de’ due coni.
Trovata così la retta B, se si assumono i fasci proiettivi:
A (a, b, c...), B (a, b, c...),
essi generano l’iperboloide I, che dee contenere la retta A ed i sei punti a, b, ... f.
Allora, la richiesta curva K di quart’ordine e seconda specie si conseguirà, introducendo un terzo fascio, per es. coll’asse ef, il quale, insieme col fascio di piani per A, generi una superficie gobba di terzo grado. Ben inteso che la proiettività fra questi due fasci non sia la semplice omografia, ma bensì tale che i piani del secondo fascio vengano accoppiati in involuzione, ed a ciascuna coppia corrisponda un solo piano del primo fascio.
La retta tangente in un punto qualunque m della curva K si ottiene costruendo il piano tangente, in m, all’iperboloide I ed il piano tangente, nel punto stesso, alla superficie gobba di terzo grado dianzi nominata1.
Trovata la tangente in m, si assuma come direttrice non doppia di una superficie gobba di terzo grado passante per la curva K, e la cui direttrice doppia sia per es. la retta A. Tale superficie sarà generata da due fasci proiettivi di piani, l’uno semplice intorno alla tangente, l’altro doppio involutorio intorno ad A. È evidente che quel piano del primo fascio, che corrisponde al piano Am del secondo, è osculatore alla curva gobba in m.
- ↑ La costruzione del piano tangente in un punto dato d’una superficie gobba di terzo grado si trova nella mia memoria già citata Sulle superficie gobbe del terz’ordine.
| Cremona, tomo I. | 19 |
